Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgiccshift 40699
Description: The integral of a function, 𝐹 stays the same if its closed interval domain is shifted by 𝑇. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgiccshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgiccshift.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgiccshift.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
itgiccshift.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgiccshift.g 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
Assertion
Ref Expression
itgiccshift (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgiccshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgiccshift.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 12065 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgiccshift.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 10833 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 23819 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 10261 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 10261 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
11 cncff 22897 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
1312adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
141adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
152adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
168adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
179adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
18 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
19 eliccre 40231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
2016, 17, 18, 19syl3anc 1477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
214adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
2220, 21resubcld 10650 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
231recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
244recnd 10260 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10585 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
2625eqcomd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
2726adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
28 elicc2 12431 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
2916, 17, 28syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
3018, 29mpbid 222 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
3130simp2d 1138 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
3216, 20, 21, 31lesub1dd 10835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
3327, 32eqbrtrd 4826 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
3430simp3d 1139 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
3520, 17, 21, 34lesub1dd 10835 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
362recnd 10260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3736, 24pncand 10585 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3837adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
3935, 38breqtrd 4830 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 40229 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
4113, 40ffvelrnd 6523 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹‘(𝑥𝑇)) ∈ ℂ)
42 itgiccshift.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇)))
4341, 42fmptd 6548 . . . . 5 (𝜑𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
4443ffvelrnda 6522 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
458, 9, 44itgioo 23781 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥)
467, 45eqtr2d 2795 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥)
47 eqid 2760 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
4847addccncf 22920 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4924, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
501, 2iccssred 40230 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
51 ax-resscn 10185 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
5250, 51syl6ss 3756 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
538, 9iccssred 40230 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
5453, 51syl6ss 3756 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
558adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
569adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
5750sselda 3744 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
584adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 10261 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
601adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
61 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
622adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
63 elicc2 12431 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6460, 62, 63syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
6561, 64mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
6665simp2d 1138 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
6760, 57, 58, 66leadd1dd 10833 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
6865simp3d 1139 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
6957, 62, 58, 68leadd1dd 10833 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 40229 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 40586 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
72 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑤 → (𝑥𝑇) = (𝑤𝑇))
7372fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹‘(𝑥𝑇)) = (𝐹‘(𝑤𝑇)))
7473cbvmptv 4902 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
751, 2, 4iccshift 40247 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)})
7675mpteq1d 4890 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7774, 76syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑥𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
7842, 77syl5eq 2806 . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
79 eqeq1 2764 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
8079rexbidv 3190 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
81 oveq1 6820 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
8281eqeq2d 2770 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8382cbvrexv 3311 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
8480, 83syl6bb 276 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
8584cbvrabv 3339 . . . . . . 7 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
8685eqcomi 2769 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}
87 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) = (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
8852, 24, 86, 10, 87cncfshift 40590 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))) ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
8978, 88eqeltrd 2839 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ))
9043feqmptd 6411 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)))
9175eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9291oveq1d 6828 . . . 4 (𝜑 → ({𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}–cn→ℂ) = (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
9389, 90, 923eltr3d 2853 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
94 ioosscn 40219 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
9594a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
96 1cnd 10248 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
97 ssid 3765 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
9897a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
9995, 96, 98constcncfg 40587 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
100 fconstmpt 5320 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
101 ioombl 23533 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
102101a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
103 ioovolcl 23538 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1041, 2, 103syl2anc 696 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
105 iblconst 23783 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
106102, 104, 96, 105syl3anc 1477 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
107100, 106syl5eqelr 2844 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
10899, 107elind 3941 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
10950resmptd 5610 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
110109eqcomd 2766 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
111110oveq2d 6829 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
11251a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
113112sselda 3744 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
11424adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
115113, 114addcld 10251 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
116 eqid 2760 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))
117115, 116fmptd 6548 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
118 ssid 3765 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
119118a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
120 eqid 2760 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
121120tgioo2 22807 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
122120, 121dvres 23874 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
123112, 117, 119, 50, 122syl22anc 1478 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
124111, 123eqtrd 2794 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
125 iccntr 22825 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1261, 2, 125syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
127126reseq2d 5551 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
128 reelprrecn 10220 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
129128a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
130 1cnd 10248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
131129dvmptid 23919 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
132 0cnd 10225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
133129, 24dvmptc 23920 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
134129, 113, 130, 131, 114, 132, 133dvmptadd 23922 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
135134reseq1d 5550 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
136 ioossre 12428 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
137136a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
138137resmptd 5610 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
139 1p0e1 11325 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
140139mpteq2i 4893 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
141140a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
142135, 138, 1413eqtrd 2798 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
143124, 127, 1423eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
144 fveq2 6352 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐺𝑥) = (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)))
145 oveq1 6820 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
146 oveq1 6820 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1471, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9itgsubsticc 40695 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐺𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1485ditgpos 23819 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
14943adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
150149, 70ffvelrnd 6523 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
151 1cnd 10248 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
152150, 151mulcld 10252 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
1531, 2, 152itgioo 23781 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
154 oveq1 6820 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
155154fveq2d 6356 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
156155oveq1d 6828 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
157156cbvitgv 23742 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
15843adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺:((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))⟶ℂ)
1598adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
1609adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
16150sselda 3744 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
1624adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
163161, 162readdcld 10261 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
1641adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1651rexrd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
166165adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
1672rexrd 10281 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
168167adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
169 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
170 iccgelb 12423 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
171166, 168, 169, 170syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑥)
172164, 161, 162, 171leadd1dd 10833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑥 + 𝑇))
1732adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
174 iccleub 12422 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
175166, 168, 169, 174syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥𝐵)
176161, 173, 162, 175leadd1dd 10833 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
177159, 160, 163, 172, 176eliccd 40229 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
178158, 177ffvelrnd 6523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
179178mulid1d 10249 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)))
18042, 74eqtri 2782 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇)))
181180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐺 = (𝑤 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹‘(𝑤𝑇))))
182 oveq1 6820 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝑤𝑇) = ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇))
183182fveq2d 6356 . . . . . . . 8 (𝑤 = (𝑥 + 𝑇) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)))
184161recnd 10260 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℂ)
18524adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℂ)
186184, 185pncand 10585 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑥 + 𝑇) − 𝑇) = 𝑥)
187186fveq2d 6356 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘((𝑥 + 𝑇) − 𝑇)) = (𝐹𝑥))
188183, 187sylan9eqr 2816 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) ∧ 𝑤 = (𝑥 + 𝑇)) → (𝐹‘(𝑤𝑇)) = (𝐹𝑥))
18912ffvelrnda 6522 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
190181, 188, 177, 189fvmptd 6450 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
191179, 190eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
192191itgeq2dv 23747 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
193157, 192syl5eq 2806 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
194148, 153, 1933eqtrd 2798 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐺‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
19546, 147, 1943eqtrd 2798 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐺𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wrex 3051  {crab 3054  wss 3715  {csn 4321  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881   × cxp 5264  dom cdm 5266  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  intcnt 21023  cnccncf 22880  volcvol 23432  𝐿1cibl 23585  citg 23586  cdit 23809   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-ditg 23810  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  40907
  Copyright terms: Public domain W3C validator