MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgitg1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgitg1 23620
Description: Transfer an integral using 1 to an equivalent integral using . (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgitg1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝ(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫1𝐹))
Distinct variable group:   𝑥,𝐹

Proof of Theorem itgitg1
StepHypRef Expression
1 i1ff 23488 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21ffvelrnda 6399 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
31feqmptd 6288 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
4 i1fibl 23619 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
53, 4eqeltrrd 2731 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
62, 5itgreval 23608 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝ(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫ℝif(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) d𝑥 − ∫ℝif(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) d𝑥))
7 0re 10078 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
8 ifcl 4163 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) ∈ ℝ)
92, 7, 8sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) ∈ ℝ)
10 max1 12054 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
117, 2, 10sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
12 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1)
133, 12eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ dom ∫1)
1413i1fposd 23519 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
15 i1fibl 23619 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
179, 11, 16itgitg2 23618 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝif(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
1811ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
19 reex 10065 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
2019a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
217a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
22 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . 10 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
24 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
2520, 21, 9, 23, 24ofrfval2 6957 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
2618, 25mpbird 247 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
27 ax-resscn 10031 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
2827a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ⊆ ℂ)
29 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
309, 29fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶ℝ)
31 ffn 6083 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
3328, 320pledm 23485 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
3426, 33mpbird 247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
35 itg2itg1 23548 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
3614, 34, 35syl2anc 694 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
3717, 36eqtrd 2685 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝif(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) d𝑥 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
382renegcld 10495 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
39 ifcl 4163 . . . . . . 7 ((-(𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) ∈ ℝ)
4038, 7, 39sylancl 695 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) ∈ ℝ)
41 max1 12054 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
427, 38, 41sylancr 696 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
43 neg1rr 11163 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℝ
4443a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
45 fconstmpt 5197 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1))
4720, 44, 2, 46, 3offval2 6956 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹𝑥))))
482recnd 10106 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
4948mulm1d 10520 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (-1 · (𝐹𝑥)) = -(𝐹𝑥))
5049mpteq2dva 4777 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)))
5147, 50eqtrd 2685 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)))
5243a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → -1 ∈ ℝ)
5312, 52i1fmulc 23515 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘𝑓 · 𝐹) ∈ dom ∫1)
5451, 53eqeltrrd 2731 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ dom ∫1)
5554i1fposd 23519 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
56 i1fibl 23619 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
5755, 56syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ 𝐿1)
5840, 42, 57itgitg2 23618 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝif(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
5942ralrimiva 2995 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
60 eqidd 2652 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
6120, 21, 40, 23, 60ofrfval2 6957 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
6259, 61mpbird 247 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
63 eqid 2651 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
6440, 63fmptd 6425 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶ℝ)
65 ffn 6083 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)):ℝ⟶ℝ → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
6664, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
6728, 660pledm 23485 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
6862, 67mpbird 247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
69 itg2itg1 23548 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7055, 68, 69syl2anc 694 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7158, 70eqtrd 2685 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝif(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) d𝑥 = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7237, 71oveq12d 6708 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫ℝif(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) d𝑥 − ∫ℝif(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) d𝑥) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) − (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))))
73 itg1sub 23521 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1) → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) − (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))))
7414, 55, 73syl2anc 694 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))) = ((∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) − (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))))
7572, 74eqtr4d 2688 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫ℝif(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) d𝑥 − ∫ℝif(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) d𝑥) = (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))))
76 max0sub 12065 . . . . . 6 ((𝐹𝑥) ∈ ℝ → (if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) − if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝐹𝑥))
772, 76syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) − if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝐹𝑥))
7877mpteq2dva 4777 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) − if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
7920, 9, 40, 24, 60offval2 6956 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) − if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
8078, 79, 33eqtr4d 2695 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = 𝐹)
8180fveq2d 6233 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∘𝑓 − (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))) = (∫1𝐹))
826, 75, 813eqtrd 2689 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∫ℝ(𝐹𝑥) d𝑥 = (∫1𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  Vcvv 3231  wss 3607  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  𝑟 cofr 6938  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979  cle 10113  cmin 10304  -cneg 10305  1citg1 23429  2citg2 23430  𝐿1cibl 23431  citg 23432  0𝑝c0p 23481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437  df-0p 23482
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator