MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgmpt 23268
Description: Change bound variable in an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgmpt.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
Assertion
Ref Expression
itgmpt (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) d𝑦)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem itgmpt
StepHypRef Expression
1 fveq2 6084 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) = ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥))
2 nffvmpt1 6092 . . 3 𝑥((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦)
3 nfcv 2746 . . 3 𝑦((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥)
41, 2, 3cbvitg 23261 . 2 𝐴((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) d𝑦 = ∫𝐴((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) d𝑥
5 simpr 475 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
6 itgmpt.1 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑉)
7 eqid 2605 . . . . 5 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑥𝐴𝐵)
87fvmpt2 6181 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵𝑉) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
95, 6, 8syl2anc 690 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) = 𝐵)
109itgeq2dv 23267 . 2 (𝜑 → ∫𝐴((𝑥𝐴𝐵)‘𝑥) d𝑥 = ∫𝐴𝐵 d𝑥)
114, 10syl5req 2652 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ∫𝐴((𝑥𝐴𝐵)‘𝑦) d𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cmpt 4633  cfv 5786  citg 23106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-nn 10864  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-fz 12149  df-seq 12615  df-sum 14207  df-itg 23111
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator