Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgperiod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgperiod 39491
Description: The integral of a periodic function, with period 𝑇 stays the same if the domain of integration is shifted. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgperiod.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgperiod.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
itgperiod.aleb (𝜑𝐴𝐵)
itgperiod.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
itgperiod.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
itgperiod.fper ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
itgperiod.fcn (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
Assertion
Ref Expression
itgperiod (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝑇   𝜑,𝑥

Proof of Theorem itgperiod
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgperiod.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 itgperiod.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 itgperiod.t . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ ℝ+)
43rpred 11816 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
5 itgperiod.aleb . . . . 5 (𝜑𝐴𝐵)
61, 2, 4, 5leadd1dd 10586 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
76ditgpos 23521 . . 3 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
81, 4readdcld 10014 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
92, 4readdcld 10014 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
10 itgperiod.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℂ)
1110adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
128adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
139adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
14 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
15 eliccre 39126 . . . . . 6 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1711, 16ffvelrnd 6317 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
188, 9, 17itgioo 23483 . . 3 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)(,)(𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥)
197, 18eqtr2d 2661 . 2 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥)
20 eqid 2626 . . . 4 (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇))
214recnd 10013 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℂ)
2220addccncf 22622 . . . . 5 (𝑇 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
2321, 22syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
241, 2iccssred 39125 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
25 ax-resscn 9938 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
2624, 25syl6ss 3600 . . . 4 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
278, 9iccssred 39125 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℝ)
2827, 25syl6ss 3600 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ ℂ)
298adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
309adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
3124sselda 3588 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ ℝ)
324adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
3331, 32readdcld 10014 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℝ)
341adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
35 simpr 477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
362adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
37 elicc2 12177 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
3834, 36, 37syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
3935, 38mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
4039simp2d 1072 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑦)
4134, 31, 32, 40leadd1dd 10586 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑦 + 𝑇))
4239simp3d 1073 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑦𝐵)
4331, 36, 32, 42leadd1dd 10586 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
4429, 30, 33, 41, 43eliccd 39124 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
4520, 23, 26, 28, 44cncfmptssg 39373 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
46 eqeq1 2630 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
4746rexbidv 3050 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
48 oveq1 6612 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + 𝑇) = (𝑦 + 𝑇))
4948eqeq2d 2636 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
5049cbvrexv 3165 . . . . . . 7 (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇))
5147, 50syl6bb 276 . . . . . 6 (𝑤 = 𝑥 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)))
5251cbvrabv 3190 . . . . 5 {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑦 + 𝑇)}
53 ffdm 6021 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℂ → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5410, 53syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℝ))
5554simpld 475 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
56 simp3 1061 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 = (𝑧 + 𝑇))
5724sselda 3588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ ℝ)
584adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
5957, 58readdcld 10014 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
60593adant3 1079 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ)
6156, 60eqeltrd 2704 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑤 ∈ ℝ)
6261rexlimdv3a 3031 . . . . . . . 8 (𝜑 → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
6362ralrimivw 2966 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
64 rabss 3663 . . . . . . 7 ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℝ ↔ ∀𝑤 ∈ ℂ (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑤 ∈ ℝ))
6563, 64sylibr 224 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ ℝ)
66 fdm 6010 . . . . . . 7 (𝐹:ℝ⟶ℂ → dom 𝐹 = ℝ)
6710, 66syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → dom 𝐹 = ℝ)
6865, 67sseqtr4d 3626 . . . . 5 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ⊆ dom 𝐹)
69 itgperiod.fper . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) = (𝐹𝑥))
70 itgperiod.fcn . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (𝐴[,]𝐵)) ∈ ((𝐴[,]𝐵)–cn→ℂ))
7126, 4, 52, 55, 68, 69, 70cncfperiod 39382 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) ∈ ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
7247elrab 3351 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
73 simprr 795 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
74 nfv 1845 . . . . . . . . . . . 12 𝑧𝜑
75 nfv 1845 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 𝑥 ∈ ℂ
76 nfre1 3004 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)
7775, 76nfan 1830 . . . . . . . . . . . 12 𝑧(𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
7874, 77nfan 1830 . . . . . . . . . . 11 𝑧(𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇)))
79 nfv 1845 . . . . . . . . . . 11 𝑧 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))
80 simp3 1061 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
811adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ∈ ℝ)
82 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
832adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
84 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8581, 83, 84syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵)))
8682, 85mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑧𝑧𝐵))
8786simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴𝑧)
8881, 57, 58, 87leadd1dd 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇))
8986simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝐵)
9057, 83, 58, 89leadd1dd 10586 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))
9159, 88, 903jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
92913adant3 1079 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇)))
9383ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ)
9493ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ)
95 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
9693, 94, 95syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → ((𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ ((𝑧 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ (𝑧 + 𝑇) ∧ (𝑧 + 𝑇) ≤ (𝐵 + 𝑇))))
9792, 96mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → (𝑧 + 𝑇) ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
9880, 97eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = (𝑧 + 𝑇)) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
99983exp 1261 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
10099adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))))
10178, 79, 100rexlimd 3024 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → (∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
10273, 101mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
10372, 102sylan2b 492 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) → 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
10416recnd 10013 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ ℂ)
1051adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ∈ ℝ)
1062adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐵 ∈ ℝ)
1074adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℝ)
10816, 107resubcld 10403 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ ℝ)
1091recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
110109, 21pncand 10338 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐴)
111110eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 = ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇))
113 elicc2 12177 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 + 𝑇) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝑇) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
11412, 13, 113syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))))
11514, 114mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇)))
116115simp2d 1072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝐴 + 𝑇) ≤ 𝑥)
11712, 16, 107, 116lesub1dd 10588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐴 + 𝑇) − 𝑇) ≤ (𝑥𝑇))
118112, 117eqbrtrd 4640 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝐴 ≤ (𝑥𝑇))
119115simp3d 1073 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ≤ (𝐵 + 𝑇))
12016, 13, 107, 119lesub1dd 10588 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇))
1212recnd 10013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
122121, 21pncand 10338 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
123122adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝐵 + 𝑇) − 𝑇) = 𝐵)
124120, 123breqtrd 4644 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ≤ 𝐵)
125105, 106, 108, 118, 124eliccd 39124 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → (𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵))
12621adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑇 ∈ ℂ)
127104, 126npcand 10341 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ((𝑥𝑇) + 𝑇) = 𝑥)
128127eqcomd 2632 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
129 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑧 + 𝑇) = ((𝑥𝑇) + 𝑇))
130129eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥𝑇) → (𝑥 = (𝑧 + 𝑇) ↔ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)))
131130rspcev 3300 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝑇) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑥 = ((𝑥𝑇) + 𝑇)) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
132125, 128, 131syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑥 = (𝑧 + 𝑇))
133104, 132, 72sylanbrc 697 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) → 𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
134103, 133impbida 876 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} ↔ 𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
135134eqrdv 2624 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)} = ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)))
136135reseq2d 5360 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}) = (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))))
137135, 68eqsstr3d 3624 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ⊆ dom 𝐹)
13855, 137feqresmpt 6208 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))) = (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)))
139136, 138eqtr2d 2661 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝐹 ↾ {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}))
1401, 2, 4iccshift 39142 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) = {𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)})
141140oveq1d 6620 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ) = ({𝑤 ∈ ℂ ∣ ∃𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)𝑤 = (𝑧 + 𝑇)}–cn→ℂ))
14271, 139, 1413eltr4d 2719 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇)) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))–cn→ℂ))
143 ioosscn 39114 . . . . . 6 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
144143a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
145 1cnd 10001 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
146 ssid 3608 . . . . . 6 ℂ ⊆ ℂ
147146a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
148144, 145, 147constcncfg 39374 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
149 fconstmpt 5128 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) × {1}) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
150 ioombl 23235 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol
151150a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol)
152 ioovolcl 23239 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
1531, 2, 152syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 → (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ)
154 iblconst 23485 . . . . . 6 (((𝐴(,)𝐵) ∈ dom vol ∧ (vol‘(𝐴(,)𝐵)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
155151, 153, 145, 154syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(,)𝐵) × {1}) ∈ 𝐿1)
156149, 155syl5eqelr 2709 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ 𝐿1)
157148, 156elind 3781 . . 3 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1) ∈ (((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ) ∩ 𝐿1))
15824resmptd 5415 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)))
159158eqcomd 2632 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵)))
160159oveq2d 6621 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))))
16125a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
162161sselda 3588 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
16321adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑇 ∈ ℂ)
164162, 163addcld 10004 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 𝑇) ∈ ℂ)
165 eqid 2626 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))
166164, 165fmptd 6341 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ)
167 ssid 3608 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ
168167a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ)
169 eqid 2626 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
170169tgioo2 22509 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
171169, 170dvres 23576 . . . . . 6 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)):ℝ⟶ℂ) ∧ (ℝ ⊆ ℝ ∧ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)) → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
172161, 166, 168, 24, 171syl22anc 1324 . . . . 5 (𝜑 → (ℝ D ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇)) ↾ (𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
173160, 172eqtrd 2660 . . . 4 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))))
174 iccntr 22527 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
1751, 2, 174syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵)) = (𝐴(,)𝐵))
176175reseq2d 5360 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐴[,]𝐵))) = ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
177 reelprrecn 9973 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
178177a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
179 1cnd 10001 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
180178dvmptid 23621 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
181 0cnd 9978 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℂ)
182178, 21dvmptc 23622 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑇)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 0))
183178, 162, 179, 180, 163, 181, 182dvmptadd 23624 . . . . . 6 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)))
184183reseq1d 5359 . . . . 5 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)))
185 ioossre 12174 . . . . . . 7 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
186185a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
187186resmptd 5415 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ (1 + 0)) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)))
188 1p0e1 11078 . . . . . . 7 (1 + 0) = 1
189188mpteq2i 4706 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1)
190189a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (1 + 0)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
191184, 187, 1903eqtrd 2664 . . . 4 (𝜑 → ((ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑦 + 𝑇))) ↾ (𝐴(,)𝐵)) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
192173, 176, 1913eqtrd 2664 . . 3 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ (𝑦 + 𝑇))) = (𝑦 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ 1))
193 fveq2 6150 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 𝑇) → (𝐹𝑥) = (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)))
194 oveq1 6612 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐴 + 𝑇))
195 oveq1 6612 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 + 𝑇) = (𝐵 + 𝑇))
1961, 2, 5, 45, 142, 157, 192, 193, 194, 195, 8, 9itgsubsticc 39486 . 2 (𝜑 → ⨜[(𝐴 + 𝑇) → (𝐵 + 𝑇)](𝐹𝑥) d𝑥 = ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
1975ditgpos 23521 . . 3 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
19810adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
199198, 33ffvelrnd 6317 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) ∈ ℂ)
200 1cnd 10001 . . . . 5 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 1 ∈ ℂ)
201199, 200mulcld 10005 . . . 4 ((𝜑𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) ∈ ℂ)
2021, 2, 201itgioo 23483 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴(,)𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦)
203 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 + 𝑇) = (𝑥 + 𝑇))
204203fveq2d 6154 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
205204oveq1d 6620 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) = ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1))
206205cbvitgv 23444 . . . 4 ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥
20710adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐹:ℝ⟶ℂ)
20824sselda 3588 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
2094adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑇 ∈ ℝ)
210208, 209readdcld 10014 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑥 + 𝑇) ∈ ℝ)
211207, 210ffvelrnd 6317 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) ∈ ℂ)
212211mulid1d 10002 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹‘(𝑥 + 𝑇)))
213212, 69eqtrd 2660 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) = (𝐹𝑥))
214213itgeq2dv 23449 . . . 4 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑥 + 𝑇)) · 1) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
215206, 214syl5eq 2672 . . 3 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐵)((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
216197, 202, 2153eqtrd 2664 . 2 (𝜑 → ⨜[𝐴𝐵]((𝐹‘(𝑦 + 𝑇)) · 1) d𝑦 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
21719, 196, 2163eqtrd 2664 1 (𝜑 → ∫((𝐴 + 𝑇)[,](𝐵 + 𝑇))(𝐹𝑥) d𝑥 = ∫(𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) d𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  wrex 2913  {crab 2916  wss 3560  {csn 4153  {cpr 4155   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  dom cdm 5079  ran crn 5080  cres 5081  wf 5846  cfv 5850  (class class class)co 6605  cc 9879  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884   · cmul 9886  cle 10020  cmin 10211  +crp 11776  (,)cioo 12114  [,]cicc 12117  TopOpenctopn 15998  topGenctg 16014  fldccnfld 19660  intcnt 20726  cnccncf 22582  volcvol 23134  𝐿1cibl 23287  citg 23288  cdit 23511   D cdv 23528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-inf2 8483  ax-cc 9202  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-addf 9960  ax-mulf 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-disj 4589  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-se 5039  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-isom 5859  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-of 6851  df-ofr 6852  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-supp 7242  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-omul 7511  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fsupp 8221  df-fi 8262  df-sup 8293  df-inf 8294  df-oi 8360  df-card 8710  df-acn 8713  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-4 11026  df-5 11027  df-6 11028  df-7 11029  df-8 11030  df-9 11031  df-n0 11238  df-z 11323  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12118  df-ioc 12119  df-ico 12120  df-icc 12121  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-fl 12530  df-mod 12606  df-seq 12739  df-exp 12798  df-hash 13055  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-abs 13905  df-limsup 14131  df-clim 14148  df-rlim 14149  df-sum 14346  df-struct 15778  df-ndx 15779  df-slot 15780  df-base 15781  df-sets 15782  df-ress 15783  df-plusg 15870  df-mulr 15871  df-starv 15872  df-sca 15873  df-vsca 15874  df-ip 15875  df-tset 15876  df-ple 15877  df-ds 15880  df-unif 15881  df-hom 15882  df-cco 15883  df-rest 15999  df-topn 16000  df-0g 16018  df-gsum 16019  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-prds 16024  df-xrs 16078  df-qtop 16083  df-imas 16084  df-xps 16086  df-mre 16162  df-mrc 16163  df-acs 16165  df-mgm 17158  df-sgrp 17200  df-mnd 17211  df-submnd 17252  df-mulg 17457  df-cntz 17666  df-cmn 18111  df-psmet 19652  df-xmet 19653  df-met 19654  df-bl 19655  df-mopn 19656  df-fbas 19657  df-fg 19658  df-cnfld 19661  df-top 20616  df-bases 20617  df-topon 20618  df-topsp 20619  df-cld 20728  df-ntr 20729  df-cls 20730  df-nei 20807  df-lp 20845  df-perf 20846  df-cn 20936  df-cnp 20937  df-haus 21024  df-cmp 21095  df-tx 21270  df-hmeo 21463  df-fil 21555  df-fm 21647  df-flim 21648  df-flf 21649  df-xms 22030  df-ms 22031  df-tms 22032  df-cncf 22584  df-ovol 23135  df-vol 23136  df-mbf 23289  df-itg1 23290  df-itg2 23291  df-ibl 23292  df-itg 23293  df-0p 23338  df-ditg 23512  df-limc 23531  df-dv 23532
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator