MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgreval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgreval 23544
Description: Decompose the integral of a real function into positive and negative parts. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iblrelem.1 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
itgreval.2 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgreval (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem itgreval
StepHypRef Expression
1 iblrelem.1 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 itgreval.2 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1)
31, 2itgrevallem1 23542 . 2 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
4 0re 10025 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
5 ifcl 4121 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
61, 4, 5sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) ∈ ℝ)
71iblrelem 23538 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)))
82, 7mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ))
98simp1d 1071 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ MblFn)
101, 9mbfpos 23399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn)
11 ifan 4125 . . . . . . . . 9 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)
1211mpteq2i 4732 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))
1312fveq2i 6181 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0)))
148simp2d 1072 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) ∈ ℝ)
1513, 14syl5eqelr 2704 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
16 max1 12001 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
174, 1, 16sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0))
186, 17iblpos 23540 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
1910, 15, 18mpbir2and 956 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
206, 19, 17itgposval 23543 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0), 0))))
2120, 13syl6eqr 2672 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))))
221renegcld 10442 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → -𝐵 ∈ ℝ)
23 ifcl 4121 . . . . . 6 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
2422, 4, 23sylancl 693 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) ∈ ℝ)
251, 9mbfneg 23398 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ -𝐵) ∈ MblFn)
2622, 25mbfpos 23399 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn)
27 ifan 4125 . . . . . . . . 9 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)
2827mpteq2i 4732 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))
2928fveq2i 6181 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0)))
308simp3d 1073 . . . . . . 7 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))) ∈ ℝ)
3129, 30syl5eqelr 2704 . . . . . 6 (𝜑 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)
32 max1 12001 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
334, 22, 32sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 0 ≤ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0))
3424, 33iblpos 23540 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))) ∈ ℝ)))
3526, 31, 34mpbir2and 956 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0)) ∈ 𝐿1)
3624, 35, 33itgposval 23543 . . . 4 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0), 0))))
3736, 29syl6eqr 2672 . . 3 (𝜑 → ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥 = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0))))
3821, 37oveq12d 6653 . 2 (𝜑 → (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐵), 𝐵, 0))) − (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ -𝐵), -𝐵, 0)))))
393, 38eqtr4d 2657 1 (𝜑 → ∫𝐴𝐵 d𝑥 = (∫𝐴if(0 ≤ 𝐵, 𝐵, 0) d𝑥 − ∫𝐴if(0 ≤ -𝐵, -𝐵, 0) d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cmpt 4720  cfv 5876  (class class class)co 6635  cr 9920  0cc0 9921  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  MblFncmbf 23364  2citg2 23366  𝐿1cibl 23367  citg 23368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-addf 10000
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-fal 1487  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-disj 4612  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-of 6882  df-ofr 6883  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-2o 7546  df-oadd 7549  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-inf 8334  df-oi 8400  df-card 8750  df-cda 8975  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-q 11774  df-rp 11818  df-xadd 11932  df-ioo 12164  df-ico 12166  df-icc 12167  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-fl 12576  df-mod 12652  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398  df-xmet 19720  df-met 19721  df-ovol 23214  df-vol 23215  df-mbf 23369  df-itg1 23370  df-itg2 23371  df-ibl 23372  df-itg 23373  df-0p 23418
This theorem is referenced by:  itgneg  23551  itgitg1  23556  itgaddlem2  23571  itgmulc2lem2  23580  itgaddnclem2  33440  itgmulc2nclem2  33448
  Copyright terms: Public domain W3C validator