Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 39469
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑡)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
2 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (cos‘𝑡) = (cos‘𝑥))
32negeqd 10219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘𝑥))
43cbvmptv 4710 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
51, 4eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
65oveq2i 6615 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐶) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)))
7 ax-resscn 9937 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9 0re 9984 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 24114 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
11 iccssre 12197 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
129, 10, 11mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1412, 7sstri 3592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615coscld 14786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1716adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
19 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019tgioo2 22514 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 iccntr 22532 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
229, 10, 21mp2an 707 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 23640 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))))
2524trud 1490 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥)))
26 reelprrecn 9972 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 recn 9970 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928coscld 14786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3130negcld 10323 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3228sincld 14785 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3432negcld 10323 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36 dvcosre 39427 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 23635 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
3932negnegd 10327 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
4039mpteq2ia 4700 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))
4138, 40syl6eq 2671 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
42 ioossre 12177 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℝ)
44 iooretop 22479 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 23632 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
4746trud 1490 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
486, 25, 473eqtri 2647 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐶) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
4948fveq1i 6149 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥)
5042, 7sstri 3592 . . . . . . . . . 10 (0(,)π) ⊆ ℂ
5150sseli 3579 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
5251sincld 14785 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
53 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
5453fvmpt2 6248 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5552, 54mpdan 701 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5649, 55syl5eq 2667 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5756adantl 482 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5857itgeq2dv 23454 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
5958trud 1490 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
609a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → π ∈ ℝ)
62 pipos 24116 . . . . . . 7 0 < π
639, 10, 62ltleii 10104 . . . . . 6 0 ≤ π
6463a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ≤ π)
65 nfcv 2761 . . . . . . 7 𝑥sin
66 sincn 24102 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
6965, 67, 68cncfmptss 39220 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
7048, 69syl5eqel 2702 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
71 ioossicc 12201 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
73 ioombl 23240 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ∈ dom vol)
7515sincld 14785 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℂ)
7865, 67, 77cncfmptss 39220 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
7978trud 1490 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
80 cniccibl 23513 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1421 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 23477 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8448, 83syl5eqel 2702 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ 𝐿1)
8516negcld 10323 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
86 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
8786fvmpt2 6248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8815, 85, 87syl2anc 692 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8988eqcomd 2627 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
9089mpteq2ia 4700 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
91 nfmpt1 4707 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
92 coscn 24103 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9386negfcncf 22630 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9691, 95, 77cncfmptss 39220 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
9796trud 1490 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
9890, 97eqeltri 2694 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
995, 98eqeltri 2694 . . . . . 6 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 23711 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)))
102101trud 1490 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
10359, 102eqtr3i 2645 . 2 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
104 0xr 10030 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 10041 . . . . 5 π ∈ ℝ*
106 ubicc2 12231 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
107104, 105, 63, 106mp3an 1421 . . . 4 π ∈ (0[,]π)
108 fveq2 6148 . . . . . . . 8 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = (cos‘π))
109 cospi 24128 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
110108, 109syl6eq 2671 . . . . . . 7 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = -1)
111110negeqd 10219 . . . . . 6 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = --1)
112 ax-1cn 9938 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 = π → 1 ∈ ℂ)
114113negnegd 10327 . . . . . 6 (𝑡 = π → --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2655 . . . . 5 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = 1)
116 1ex 9979 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6239 . . . 4 (π ∈ (0[,]π) → (𝐶‘π) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (𝐶‘π) = 1
119 lbicc2 12230 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
120104, 105, 63, 119mp3an 1421 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
121 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (cos‘𝑡) = (cos‘0))
122121negeqd 10219 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘0))
123 negex 10223 . . . . . 6 -(cos‘0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6239 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]π) → (𝐶‘0) = -(cos‘0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (𝐶‘0) = -(cos‘0)
126 cos0 14805 . . . . 5 (cos‘0) = 1
127126negeqi 10218 . . . 4 -(cos‘0) = -1
128125, 127eqtri 2643 . . 3 (𝐶‘0) = -1
129118, 128oveq12i 6616 . 2 ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)) = (1 − -1)
130112, 112subnegi 10304 . . 3 (1 − -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 11078 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2643 . 2 (1 − -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2647 1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1480  wtru 1481  wcel 1987  wss 3555  {cpr 4150   class class class wbr 4613  cmpt 4673  dom cdm 5074  ran crn 5075  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  *cxr 10017  cle 10019  cmin 10210  -cneg 10211  2c2 11014  (,)cioo 12117  [,]cicc 12120  sincsin 14719  cosccos 14720  πcpi 14722  TopOpenctopn 16003  topGenctg 16019  fldccnfld 19665  intcnt 20731  cnccncf 22587  volcvol 23139  𝐿1cibl 23292  citg 23293   D cdv 23533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cc 9201  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-ofr 6851  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-omul 7510  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-fi 8261  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-acn 8712  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-ioo 12121  df-ioc 12122  df-ico 12123  df-icc 12124  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-shft 13741  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-limsup 14136  df-clim 14153  df-rlim 14154  df-sum 14351  df-ef 14723  df-sin 14725  df-cos 14726  df-pi 14728  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-rest 16004  df-topn 16005  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-topgen 16025  df-pt 16026  df-prds 16029  df-xrs 16083  df-qtop 16088  df-imas 16089  df-xps 16091  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-submnd 17257  df-mulg 17462  df-cntz 17671  df-cmn 18116  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-cnfld 19666  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-topsp 20624  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-nei 20812  df-lp 20850  df-perf 20851  df-cn 20941  df-cnp 20942  df-haus 21029  df-cmp 21100  df-tx 21275  df-hmeo 21468  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654  df-xms 22035  df-ms 22036  df-tms 22037  df-cncf 22589  df-ovol 23140  df-vol 23141  df-mbf 23294  df-itg1 23295  df-itg2 23296  df-ibl 23297  df-itg 23298  df-0p 23343  df-limc 23536  df-dv 23537
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  39471
  Copyright terms: Public domain W3C validator