Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsin0pilem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsin0pilem1 40668
Description: Calculation of the integral for sine on the (0,π) interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
itgsin0pilem1.1 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
Assertion
Ref Expression
itgsin0pilem1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡   𝑥,𝐶
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑡)

Proof of Theorem itgsin0pilem1
StepHypRef Expression
1 itgsin0pilem1.1 . . . . . . . . . . 11 𝐶 = (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡))
2 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑥 → (cos‘𝑡) = (cos‘𝑥))
32negeqd 10467 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑥 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘𝑥))
43cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑡)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
51, 4eqtri 2782 . . . . . . . . . 10 𝐶 = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))
65oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 (ℝ D 𝐶) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)))
7 ax-resscn 10185 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ ℂ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ ℂ)
9 0re 10232 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
10 pire 24409 . . . . . . . . . . . . 13 π ∈ ℝ
11 iccssre 12448 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
129, 10, 11mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℝ)
1412, 7sstri 3753 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0[,]π) ⊆ ℂ
1514sseli 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
1615coscld 15060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1716adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
1817negcld 10571 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
19 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2019tgioo2 22807 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
21 iccntr 22825 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
229, 10, 21mp2an 710 . . . . . . . . . . . 12 ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π)
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(0[,]π)) = (0(,)π))
248, 13, 18, 20, 19, 23dvmptntr 23933 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))))
2524trud 1642 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥)))
26 reelprrecn 10220 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
28 recn 10218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
2928coscld 15060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3029adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3130negcld 10571 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
3228sincld 15059 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 473 . . . . . . . . . . 11 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3432negcld 10571 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(sin‘𝑥) ∈ ℂ)
36 dvcosre 40629 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥))
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(sin‘𝑥)))
3827, 30, 35, 37dvmptneg 23928 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)))
3932negnegd 10575 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → --(sin‘𝑥) = (sin‘𝑥))
4039mpteq2ia 4892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ ↦ --(sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥))
4138, 40syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (sin‘𝑥)))
42 ioossre 12428 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ⊆ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℝ)
44 iooretop 22770 . . . . . . . . . . . 12 (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,))
4544a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0(,)π) ∈ (topGen‘ran (,)))
4627, 31, 33, 41, 43, 20, 19, 45dvmptres 23925 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)))
4746trud 1642 . . . . . . . . 9 (ℝ D (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
486, 25, 473eqtri 2786 . . . . . . . 8 (ℝ D 𝐶) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
4948fveq1i 6353 . . . . . . 7 ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥)
5042, 7sstri 3753 . . . . . . . . . 10 (0(,)π) ⊆ ℂ
5150sseli 3740 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
5251sincld 15059 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
53 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))
5453fvmpt2 6453 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ (sin‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5552, 54mpdan 705 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥))‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5649, 55syl5eq 2806 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5756adantl 473 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((ℝ D 𝐶)‘𝑥) = (sin‘𝑥))
5857itgeq2dv 23747 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥)
5958trud 1642 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥
609a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6110a1i 11 . . . . 5 (⊤ → π ∈ ℝ)
62 pipos 24411 . . . . . . 7 0 < π
639, 10, 62ltleii 10352 . . . . . 6 0 ≤ π
6463a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 0 ≤ π)
65 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑥sin
66 sincn 24397 . . . . . . . 8 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6766a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6850a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ ℂ)
6965, 67, 68cncfmptss 40322 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
7048, 69syl5eqel 2843 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ ((0(,)π)–cn→ℂ))
71 ioossicc 12452 . . . . . . . 8 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
7271a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
73 ioombl 23533 . . . . . . . 8 (0(,)π) ∈ dom vol
7473a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (0(,)π) ∈ dom vol)
7515sincld 15059 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7675adantl 473 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
7714a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → (0[,]π) ⊆ ℂ)
7865, 67, 77cncfmptss 40322 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
7978trud 1642 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
80 cniccibl 23806 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
819, 10, 79, 80mp3an 1573 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1
8281a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8372, 74, 76, 82iblss 23770 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ (sin‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
8448, 83syl5eqel 2843 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D 𝐶) ∈ 𝐿1)
8516negcld 10571 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) ∈ ℂ)
86 eqid 2760 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
8786fvmpt2 6453 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ -(cos‘𝑥) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8815, 85, 87syl2anc 696 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥) = -(cos‘𝑥))
8988eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0[,]π) → -(cos‘𝑥) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
9089mpteq2ia 4892 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥))
91 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . 10 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
92 coscn 24398 . . . . . . . . . . . 12 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9386negfcncf 22923 . . . . . . . . . . . 12 (cos ∈ (ℂ–cn→ℂ) → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ)
9594a1i 11 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
9691, 95, 77cncfmptss 40322 . . . . . . . . 9 (⊤ → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
9796trud 1642 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
9890, 97eqeltri 2835 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ -(cos‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
995, 98eqeltri 2835 . . . . . 6 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)
10099a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 𝐶 ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
10160, 61, 64, 70, 84, 100ftc2 24006 . . . 4 (⊤ → ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)))
102101trud 1642 . . 3 ∫(0(,)π)((ℝ D 𝐶)‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
10359, 102eqtr3i 2784 . 2 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = ((𝐶‘π) − (𝐶‘0))
104 0xr 10278 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
10510rexri 10289 . . . . 5 π ∈ ℝ*
106 ubicc2 12482 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → π ∈ (0[,]π))
107104, 105, 63, 106mp3an 1573 . . . 4 π ∈ (0[,]π)
108 fveq2 6352 . . . . . . . 8 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = (cos‘π))
109 cospi 24423 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
110108, 109syl6eq 2810 . . . . . . 7 (𝑡 = π → (cos‘𝑡) = -1)
111110negeqd 10467 . . . . . 6 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = --1)
112 ax-1cn 10186 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
113112a1i 11 . . . . . . 7 (𝑡 = π → 1 ∈ ℂ)
114113negnegd 10575 . . . . . 6 (𝑡 = π → --1 = 1)
115111, 114eqtrd 2794 . . . . 5 (𝑡 = π → -(cos‘𝑡) = 1)
116 1ex 10227 . . . . 5 1 ∈ V
117115, 1, 116fvmpt 6444 . . . 4 (π ∈ (0[,]π) → (𝐶‘π) = 1)
118107, 117ax-mp 5 . . 3 (𝐶‘π) = 1
119 lbicc2 12481 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
120104, 105, 63, 119mp3an 1573 . . . . 5 0 ∈ (0[,]π)
121 fveq2 6352 . . . . . . 7 (𝑡 = 0 → (cos‘𝑡) = (cos‘0))
122121negeqd 10467 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → -(cos‘𝑡) = -(cos‘0))
123 negex 10471 . . . . . 6 -(cos‘0) ∈ V
124122, 1, 123fvmpt 6444 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]π) → (𝐶‘0) = -(cos‘0))
125120, 124ax-mp 5 . . . 4 (𝐶‘0) = -(cos‘0)
126 cos0 15079 . . . . 5 (cos‘0) = 1
127126negeqi 10466 . . . 4 -(cos‘0) = -1
128125, 127eqtri 2782 . . 3 (𝐶‘0) = -1
129118, 128oveq12i 6825 . 2 ((𝐶‘π) − (𝐶‘0)) = (1 − -1)
130112, 112subnegi 10552 . . 3 (1 − -1) = (1 + 1)
131 1p1e2 11326 . . 3 (1 + 1) = 2
132130, 131eqtri 2782 . 2 (1 − -1) = 2
133103, 129, 1323eqtri 2786 1 ∫(0(,)π)(sin‘𝑥) d𝑥 = 2
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 383   = wceq 1632  wtru 1633  wcel 2139  wss 3715  {cpr 4323   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265  cle 10267  cmin 10458  -cneg 10459  2c2 11262  (,)cioo 12368  [,]cicc 12371  sincsin 14993  cosccos 14994  πcpi 14996  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  intcnt 21023  cnccncf 22880  volcvol 23432  𝐿1cibl 23585  citg 23586   D cdv 23826
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-addf 10207  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-ofr 7063  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-ioc 12373  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-shft 14006  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-limsup 14401  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-ef 14997  df-sin 14999  df-cos 15000  df-pi 15002  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-fbas 19945  df-fg 19946  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cld 21025  df-ntr 21026  df-cls 21027  df-nei 21104  df-lp 21142  df-perf 21143  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-haus 21321  df-cmp 21392  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-fil 21851  df-fm 21943  df-flim 21944  df-flf 21945  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882  df-ovol 23433  df-vol 23434  df-mbf 23587  df-itg1 23588  df-itg2 23589  df-ibl 23590  df-itg 23591  df-0p 23636  df-limc 23829  df-dv 23830
This theorem is referenced by:  itgsin0pi  40670
  Copyright terms: Public domain W3C validator