Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgsinexp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsinexp 40691
Description: A recursive formula for the integral of sin^N on the interval (0,π) . (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsinexp.1 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
itgsinexp.2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
Assertion
Ref Expression
itgsinexp (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝑁   𝜑,𝑛,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐼(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem itgsinexp
StepHypRef Expression
1 itgsinexp.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelz 11909 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 zcn 11594 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
41, 2, 33syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
5 1cnd 10268 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
64, 5npcand 10608 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
76eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1))
87oveq1d 6829 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)))
9 uz2m1nn 11976 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
101, 9syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
1110nncnd 11248 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
12 itgsinexp.1 . . . . . . . 8 𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥))
14 oveq2 6822 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑁 → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1514ad2antlr 765 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 = 𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
1615itgeq2dv 23767 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 = 𝑁) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
17 2cnd 11305 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
18 npcan 10502 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
1918eqcomd 2766 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → 𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
204, 17, 19syl2anc 696 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 = ((𝑁 − 2) + 2))
21 uznn0sub 11932 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
221, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
23 2nn0 11521 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2423a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℕ0)
2522, 24nn0addcld 11567 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 − 2) + 2) ∈ ℕ0)
2620, 25eqeltrd 2839 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
27 itgex 23756 . . . . . . . 8 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ V)
2913, 16, 26, 28fvmptd 6451 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)
30 ioosscn 40237 . . . . . . . . . . 11 (0(,)π) ⊆ ℂ
3130sseli 3740 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ ℂ)
3231sincld 15079 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3332adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
3426adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3533, 34expcld 13222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
36 ioossicc 12472 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
3736a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ⊆ (0[,]π))
38 ioombl 23553 . . . . . . . . 9 (0(,)π) ∈ dom vol
3938a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0(,)π) ∈ dom vol)
40 0re 10252 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
41 pire 24430 . . . . . . . . . . . . . 14 π ∈ ℝ
42 iccssre 12468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
4340, 41, 42mp2an 710 . . . . . . . . . . . . 13 (0[,]π) ⊆ ℝ
44 ax-resscn 10205 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
4543, 44sstri 3753 . . . . . . . . . . . 12 (0[,]π) ⊆ ℂ
4645sseli 3740 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (0[,]π) → 𝑥 ∈ ℂ)
4746sincld 15079 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (0[,]π) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4847adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
4926adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
5048, 49expcld 13222 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ)
5140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
5241a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
5346adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → 𝑥 ∈ ℂ)
54 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5554fvmpt2 6454 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑𝑁) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5653, 50, 55syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
5756eqcomd 2766 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥))
5857mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)))
59 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . 11 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))
60 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑥sin
61 sincn 24417 . . . . . . . . . . . . 13 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6360, 62, 26expcnfg 40344 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
6445a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (0[,]π) ⊆ ℂ)
6559, 63, 64cncfmptss 40340 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
6658, 65eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
67 cniccibl 23826 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6851, 52, 66, 67syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
6937, 39, 50, 68iblss 23790 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑𝑁)) ∈ 𝐿1)
7035, 69itgcl 23769 . . . . . 6 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 ∈ ℂ)
7129, 70eqeltrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼𝑁) ∈ ℂ)
7211, 71adddirp1d 10278 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) · (𝐼𝑁)) = (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)))
73 eluz2b2 11974 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
741, 73sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
7574simpld 477 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
76 expm1t 13102 . . . . . . . . . 10 (((sin‘𝑥) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7732, 75, 76syl2anr 496 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑁) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
7877itgeq2dv 23767 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥)
79 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)))
80 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ -(cos‘𝑥))
81 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)))
82 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)))
83 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((((𝑁 − 1) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) · (cos‘𝑥)) · -(cos‘𝑥)))
84 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))))
8579, 80, 81, 82, 83, 84, 10itgsinexplem1 40690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥))
864, 5, 5subsub4d 10635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
87 1p1e2 11346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 1) = 2
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (1 + 1) = 2)
8988oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2))
9086, 89eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
9291oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1)) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
9392oveq2d 6830 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) = (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
9493itgeq2dv 23767 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
9594oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑((𝑁 − 1) − 1))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥))
96 sincossq 15125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1)
97 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
98 sincl 15075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (sin‘𝑥) ∈ ℂ)
9998sqcld 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
100 coscl 15076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ → (cos‘𝑥) ∈ ℂ)
101100sqcld 13220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
10297, 99, 101subaddd 10622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℂ → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2) ↔ (((sin‘𝑥)↑2) + ((cos‘𝑥)↑2)) = 1))
10396, 102mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℂ → (1 − ((sin‘𝑥)↑2)) = ((cos‘𝑥)↑2))
104103eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℂ → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
10531, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos‘𝑥)↑2) = (1 − ((sin‘𝑥)↑2)))
106105oveq1d 6829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
107106adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
108107itgeq2dv 23767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥)
109 1cnd 10268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 1 ∈ ℂ)
11032sqcld 13220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
111110adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑2) ∈ ℂ)
11290eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑁 − 2) = ((𝑁 − 1) − 1))
113 nnm1nn0 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
11410, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ ℕ0)
115112, 114eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
11733, 116expcld 13222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
118109, 111, 117subdird 10699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))))
119117mulid2d 10270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
12023a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → 2 ∈ ℕ0)
12133, 116, 120expaddd 13224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))))
12217, 4pncan3d 10607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 + (𝑁 − 2)) = 𝑁)
123122oveq2d 6830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
124123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑(2 + (𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
125121, 124eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = ((sin‘𝑥)↑𝑁))
126119, 125oveq12d 6832 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) − (((sin‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
127118, 126eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)))
128127itgeq2dv 23767 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)((1 − ((sin‘𝑥)↑2)) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥)
129115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
13048, 129expcld 13222 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
131 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
132131fvmpt2 6454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13353, 130, 132syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
134133eqcomd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (0[,]π)) → ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) = ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥))
135134mpteq2dva 4896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) = (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)))
136 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
13760, 62, 115expcnfg 40344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ (ℂ–cn→ℂ))
138136, 137, 64cncfmptss 40340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((𝑥 ∈ ℂ ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))‘𝑥)) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
139135, 138eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ))
140 cniccibl 23826 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ ((0[,]π)–cn→ℂ)) → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14151, 52, 139, 140syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0[,]π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
14237, 39, 130, 141iblss 23790 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (0(,)π) ↦ ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) ∈ 𝐿1)
143117, 142, 35, 69itgsub 23811 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) − ((sin‘𝑥)↑𝑁)) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
144108, 128, 1433eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥 = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
145144oveq2d 6830 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ∫(0(,)π)(((cos‘𝑥)↑2) · ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2))) d𝑥) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14685, 95, 1453eqtrd 2798 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∫(0(,)π)(((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 1)) · (sin‘𝑥)) d𝑥 = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
14729, 78, 1463eqtrd 2798 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐼𝑁) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
148 oveq2 6822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
149148adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 = (𝑁 − 2) ∧ 𝑥 ∈ (0(,)π)) → ((sin‘𝑥)↑𝑛) = ((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)))
150149itgeq2dv 23767 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑁 − 2) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
151150adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 = (𝑁 − 2)) → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑛) d𝑥 = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
152 itgex 23756 . . . . . . . . . . 11 ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V
153152a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ V)
15413, 151, 115, 153fvmptd 6451 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) = ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥)
155154, 29oveq12d 6832 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁)) = (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥))
156155oveq2d 6830 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = ((𝑁 − 1) · (∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 − ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑𝑁) d𝑥)))
157117, 142itgcl 23769 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∫(0(,)π)((sin‘𝑥)↑(𝑁 − 2)) d𝑥 ∈ ℂ)
158154, 157eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
15911, 158, 71subdid 10698 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · ((𝐼‘(𝑁 − 2)) − (𝐼𝑁))) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
160147, 156, 1593eqtr2d 2800 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))))
161160eqcomd 2766 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁))
16211, 158mulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
16311, 71mulcld 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) ∈ ℂ)
164162, 163, 71subaddd 10622 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) − ((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁))) = (𝐼𝑁) ↔ (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2)))))
165161, 164mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼𝑁)) + (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
1668, 72, 1653eqtrd 2798 . . 3 (𝜑 → (𝑁 · (𝐼𝑁)) = ((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
167166oveq1d 6829 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁))
16875nnne0d 11277 . . 3 (𝜑𝑁 ≠ 0)
16971, 4, 168divcan3d 11018 . 2 (𝜑 → ((𝑁 · (𝐼𝑁)) / 𝑁) = (𝐼𝑁))
17011, 158, 4, 168div23d 11050 . 2 (𝜑 → (((𝑁 − 1) · (𝐼‘(𝑁 − 2))) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
171167, 169, 1703eqtr3d 2802 1 (𝜑 → (𝐼𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) · (𝐼‘(𝑁 − 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6814  cc 10146  cr 10147  0cc0 10148  1c1 10149   + caddc 10151   · cmul 10153   < clt 10286  cmin 10478  -cneg 10479   / cdiv 10896  cn 11232  2c2 11282  0cn0 11504  cz 11589  cuz 11899  (,)cioo 12388  [,]cicc 12391  cexp 13074  sincsin 15013  cosccos 15014  πcpi 15016  cnccncf 22900  volcvol 23452  𝐿1cibl 23605  citg 23606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-inf2 8713  ax-cc 9469  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226  ax-addf 10227  ax-mulf 10228
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-of 7063  df-ofr 7064  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-supp 7465  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-2o 7731  df-oadd 7734  df-omul 7735  df-er 7913  df-map 8027  df-pm 8028  df-ixp 8077  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-fsupp 8443  df-fi 8484  df-sup 8515  df-inf 8516  df-oi 8582  df-card 8975  df-acn 8978  df-cda 9202  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-7 11296  df-8 11297  df-9 11298  df-n0 11505  df-z 11590  df-dec 11706  df-uz 11900  df-q 12002  df-rp 12046  df-xneg 12159  df-xadd 12160  df-xmul 12161  df-ioo 12392  df-ioc 12393  df-ico 12394  df-icc 12395  df-fz 12540  df-fzo 12680  df-fl 12807  df-mod 12883  df-seq 13016  df-exp 13075  df-fac 13275  df-bc 13304  df-hash 13332  df-shft 14026  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438  df-rlim 14439  df-sum 14636  df-ef 15017  df-sin 15019  df-cos 15020  df-pi 15022  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-sets 16086  df-ress 16087  df-plusg 16176  df-mulr 16177  df-starv 16178  df-sca 16179  df-vsca 16180  df-ip 16181  df-tset 16182  df-ple 16183  df-ds 16186  df-unif 16187  df-hom 16188  df-cco 16189  df-rest 16305  df-topn 16306  df-0g 16324  df-gsum 16325  df-topgen 16326  df-pt 16327  df-prds 16330  df-xrs 16384  df-qtop 16389  df-imas 16390  df-xps 16392  df-mre 16468  df-mrc 16469  df-acs 16471  df-mgm 17463  df-sgrp 17505  df-mnd 17516  df-submnd 17557  df-mulg 17762  df-cntz 17970  df-cmn 18415  df-psmet 19960  df-xmet 19961  df-met 19962  df-bl 19963  df-mopn 19964  df-fbas 19965  df-fg 19966  df-cnfld 19969  df-top 20921  df-topon 20938  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-cmp 21412  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-ovol 23453  df-vol 23454  df-mbf 23607  df-itg1 23608  df-itg2 23609  df-ibl 23610  df-itg 23611  df-0p 23656  df-limc 23849  df-dv 23850
This theorem is referenced by:  wallispilem2  40804  wallispilem4  40806  wallispilem5  40807
  Copyright terms: Public domain W3C validator