MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgsplit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgsplit 24363
Description: The integral splits under an almost disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgsplit.i (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
itgsplit.u (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
itgsplit.c ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
itgsplit.a (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
itgsplit.b (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgsplit (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜑,𝑥   𝑥,𝑈   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgsplit
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgsplit.a . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1)
2 iblmbf 24295 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐶) ∈ MblFn)
4 ssun1 4145 . . . . . . . . . . . 12 𝐴 ⊆ (𝐴𝐵)
5 itgsplit.u . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑈 = (𝐴𝐵))
64, 5sseqtrrid 4017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑈)
76sselda 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝑈)
8 itgsplit.c . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶𝑉)
97, 8syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶𝑉)
103, 9mbfdm2 24165 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐴 ∈ dom vol)
12 itgsplit.b . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1)
13 iblmbf 24295 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝐶) ∈ 𝐿1 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
1412, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝐵𝐶) ∈ MblFn)
15 ssun2 4146 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ⊆ (𝐴𝐵)
1615, 5sseqtrrid 4017 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵𝑈)
1716sselda 3964 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝑈)
1817, 8syldan 591 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝑉)
1914, 18mbfdm2 24165 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ dom vol)
2019adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝐵 ∈ dom vol)
21 itgsplit.i . . . . . . . 8 (𝜑 → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
2221adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (vol*‘(𝐴𝐵)) = 0)
235adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑈 = (𝐴𝐵))
245eleq2d 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑈𝑥 ∈ (𝐴𝐵)))
25 elun 4122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
2624, 25syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝑈 ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵)))
2726biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑈) → (𝑥𝐴𝑥𝐵))
283, 9mbfmptcl 24164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
2914, 18mbfmptcl 24164 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
3028, 29jaodan 951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑥𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
3127, 30syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
3231adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
33 ax-icn 10584 . . . . . . . . . . . . . 14 i ∈ ℂ
34 elfznn0 12988 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3534adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
36 expcl 13435 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3733, 35, 36sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
3837adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
39 ine0 11063 . . . . . . . . . . . . . 14 i ≠ 0
40 elfzelz 12896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
4140adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → 𝑘 ∈ ℤ)
42 expne0i 13449 . . . . . . . . . . . . . 14 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4333, 39, 41, 42mp3an12i 1456 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (i↑𝑘) ≠ 0)
4532, 38, 44divcld 11404 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (𝐶 / (i↑𝑘)) ∈ ℂ)
4645recld 14541 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ)
47 0re 10631 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
48 ifcl 4507 . . . . . . . . . 10 (((ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
4946, 47, 48sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ)
5049rexrd 10679 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ*)
51 max1 12566 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
5247, 46, 51sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))
53 elxrge0 12833 . . . . . . . 8 (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞) ↔ (if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
5450, 52, 53sylanbrc 583 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) ∧ 𝑥𝑈) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) ∈ (0[,]+∞))
55 ifan 4514 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5655mpteq2i 5149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐴, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
57 ifan 4514 . . . . . . . 8 if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
5857mpteq2i 5149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝐵, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
59 ifan 4514 . . . . . . . 8 if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0) = if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0)
6059mpteq2i 5149 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(𝑥𝑈, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0), 0))
61 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
62 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6361, 62, 1, 9iblitg 24296 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6440, 63sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
65 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))
66 eqidd 2819 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐵) → (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))))
6765, 66, 12, 18iblitg 24296 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6840, 67sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℝ)
6911, 20, 22, 23, 54, 56, 58, 60, 64, 68itg2split 24277 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) = ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
7069oveq2d 7161 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7163recnd 10657 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7240, 71sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7368recnd 10657 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) ∈ ℂ)
7437, 72, 73adddid 10653 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · ((∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))) + (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7570, 74eqtrd 2853 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
7675sumeq2dv 15048 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
77 fzfid 13329 . . . 4 (𝜑 → (0...3) ∈ Fin)
7837, 72mulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
7937, 73mulcld 10649 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...3)) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) ∈ ℂ)
8077, 78, 79fsumadd 15084 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)(((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
8176, 80eqtrd 2853 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))))
82 eqid 2818 . . 3 (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))
8382dfitg 24297 . 2 𝑈𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝑈 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8482dfitg 24297 . . 3 𝐴𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8582dfitg 24297 . . 3 𝐵𝐶 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0))))
8684, 85oveq12i 7157 . 2 (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥) = (Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))) + Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐵 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(𝐶 / (i↑𝑘))), 0)))))
8781, 83, 863eqtr4g 2878 1 (𝜑 → ∫𝑈𝐶 d𝑥 = (∫𝐴𝐶 d𝑥 + ∫𝐵𝐶 d𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cun 3931  cin 3932  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  ici 10527   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662  cle 10664   / cdiv 11285  3c3 11681  0cn0 11885  cz 11969  [,]cicc 12729  ...cfz 12880  cexp 13417  cre 14444  Σcsu 15030  vol*covol 23990  volcvol 23991  MblFncmbf 24142  2citg2 24144  𝐿1cibl 24145  citg 24146
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-disj 5023  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-ofr 7399  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-mod 13226  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031  df-rest 16684  df-topgen 16705  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-top 21430  df-topon 21447  df-bases 21482  df-cmp 21923  df-ovol 23992  df-vol 23993  df-mbf 24147  df-itg1 24148  df-itg2 24149  df-ibl 24150  df-itg 24151
This theorem is referenced by:  itgspliticc  24364  itgsplitioo  24365
  Copyright terms: Public domain W3C validator