Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgspliticc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgspliticc 23648
 Description: The ∫ integral splits on closed intervals with matching endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgspliticc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
itgspliticc.2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
itgspliticc.3 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
itgspliticc.4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
itgspliticc.5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
itgspliticc.6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
Assertion
Ref Expression
itgspliticc (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑉   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐷(𝑥)

Proof of Theorem itgspliticc
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgspliticc.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 itgspliticc.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶))
4 itgspliticc.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
5 elicc2 12276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
61, 4, 5syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶)))
73, 6mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵𝐵𝐶))
87simp1d 1093 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
98rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
104rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
11 df-icc 12220 . . . . . . 7 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
12 xrmaxle 12052 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ ℝ*) → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) ≤ 𝑧 ↔ (𝐴𝑧𝐵𝑧)))
13 xrlemin 12053 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑧 ≤ if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) ↔ (𝑧𝐵𝑧𝐶)))
1411, 12, 13ixxin 12230 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*)) → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
152, 9, 9, 10, 14syl22anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)))
167simp2d 1094 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐵)
1716iftrued 4127 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴) = 𝐵)
187simp3d 1095 . . . . . . 7 (𝜑𝐵𝐶)
1918iftrued 4127 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶) = 𝐵)
2017, 19oveq12d 6708 . . . . 5 (𝜑 → (if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴)[,]if(𝐵𝐶, 𝐵, 𝐶)) = (𝐵[,]𝐵))
21 iccid 12258 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
229, 21syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
2315, 20, 223eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶)) = {𝐵})
2423fveq2d 6233 . . 3 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = (vol*‘{𝐵}))
25 ovolsn 23309 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ → (vol*‘{𝐵}) = 0)
268, 25syl 17 . . 3 (𝜑 → (vol*‘{𝐵}) = 0)
2724, 26eqtrd 2685 . 2 (𝜑 → (vol*‘((𝐴[,]𝐵) ∩ (𝐵[,]𝐶))) = 0)
28 iccsplit 12343 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
291, 4, 3, 28syl3anc 1366 . 2 (𝜑 → (𝐴[,]𝐶) = ((𝐴[,]𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐶)))
30 itgspliticc.4 . 2 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐶)) → 𝐷𝑉)
31 itgspliticc.5 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
32 itgspliticc.6 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐵[,]𝐶) ↦ 𝐷) ∈ 𝐿1)
3327, 29, 30, 31, 32itgsplit 23647 1 (𝜑 → ∫(𝐴[,]𝐶)𝐷 d𝑥 = (∫(𝐴[,]𝐵)𝐷 d𝑥 + ∫(𝐵[,]𝐶)𝐷 d𝑥))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ifcif 4119  {csn 4210   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℝcr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977  ℝ*cxr 10111   ≤ cle 10113  [,]cicc 12216  vol*covol 23277  𝐿1cibl 23431  ∫citg 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-ofr 6940  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cmp 21238  df-ovol 23279  df-vol 23280  df-mbf 23433  df-itg1 23434  df-itg2 23435  df-ibl 23436  df-itg 23437 This theorem is referenced by:  itgspltprt  40513  fourierdlem107  40748
 Copyright terms: Public domain W3C validator