Theorem itgss2 23302

Description: Expand the set of an integral by adding zeroes outside the domain. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgss2	⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐶(𝑥)

Proof of Theorem itgss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 4041	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
2	1	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 𝐶)
3	2	itgeq2dv 23271	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐴𝐶 d𝑥)
4		id 22	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
5		eldifn 3694	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → ¬ 𝑥 ∈ 𝐴)
6	5	iffalsed 4046	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
7	6	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ (𝐵 ∖ 𝐴)) → if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) = 0)
8	4, 7	itgss 23301	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)
9	3, 8	eqtr3d 2645	1 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → ∫𝐴𝐶 d𝑥 = ∫𝐵if(𝑥 ∈ 𝐴, 𝐶, 0) d𝑥)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ∖ cdif 3536   ⊆ wss 3539  ifcif 4035  0cc0 9792  ∫citg 23110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sum 14211  df-itg 23115

This theorem is referenced by:  itgss3  23304  itgless  23306  arearect  36616  areaquad  36617