Theorem itgz 23298

Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itgz	⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itgz

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))
2	1	dfitg 23287	. 2 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))))
3		ax-icn 9852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ i ∈ ℂ
4		elfznn0 12260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5		expcl 12698	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
7		elfzelz 12171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		ine0 10317	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ i ≠ 0
9		expne0i 12712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
10	3, 8, 9	mp3an12 1406	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
11	7, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ≠ 0)
12	6, 11	div0d 10652	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
13	12	fveq2d 6092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
14		re0 13689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℜ‘0) = 0
15	13, 14	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
16	15	ifeq1d 4054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0))
17		ifid 4075	. . . . . . . . . 10 ⊢ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0) = 0
18	16, 17	syl6eq 2660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
19	18	mpteq2dv 4668	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
20		fconstmpt 5075	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
21	19, 20	syl6eqr 2662	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0}))
22	21	fveq2d 6092	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
23		itg20 23255	. . . . . 6 ⊢ (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
24	22, 23	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
25	24	oveq2d 6543	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0))
26	6	mul01d 10087	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
27	25, 26	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
28	27	sumeq2i 14226	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
29		fzfi 12591	. . . 4 ⊢ (0...3) ∈ Fin
30	29	olci 405	. . 3 ⊢ ((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
31		sumz 14249	. . 3 ⊢ (((0...3) ⊆ (ℤ≥‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
32	30, 31	ax-mp 5	. 2 ⊢ Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
33	2, 28, 32	3eqtri 2636	1 ⊢ ∫𝐴0 d𝑥 = 0

Syntax hints:   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4578   ↦ cmpt 4638   × cxp 5026  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  ℂcc 9791  ℝcr 9792  0cc0 9793  ici 9795   · cmul 9798   ≤ cle 9932   / cdiv 10536  3c3 10921  ℕ₀cn0 11142  ℤcz 11213  ℤ_≥cuz 11522  ...cfz 12155  ↑cexp 12680  ℜcre 13634  Σcsu 14213  ∫₂citg2 23136  ∫citg 23138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-disj 4549  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-ofr 6774  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-xmet 19509  df-met 19510  df-ovol 22985  df-vol 22986  df-mbf 23139  df-itg1 23140  df-itg2 23141  df-itg 23143  df-0p 23188

This theorem is referenced by:  itgge0  23328  itgfsum  23344