MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itgz 23298
Description: The integral of zero on any set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgz 𝐴0 d𝑥 = 0

Proof of Theorem itgz
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . 3 (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))
21dfitg 23287 . 2 𝐴0 d𝑥 = Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))))
3 ax-icn 9852 . . . . . . . . . . . . . . 15 i ∈ ℂ
4 elfznn0 12260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℕ0)
5 expcl 12698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((i ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
63, 4, 5sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ∈ ℂ)
7 elfzelz 12171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ (0...3) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 ine0 10317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 i ≠ 0
9 expne0i 12712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((i ∈ ℂ ∧ i ≠ 0 ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (i↑𝑘) ≠ 0)
103, 8, 9mp3an12 1406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ ℤ → (i↑𝑘) ≠ 0)
117, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...3) → (i↑𝑘) ≠ 0)
126, 11div0d 10652 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (0...3) → (0 / (i↑𝑘)) = 0)
1312fveq2d 6092 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = (ℜ‘0))
14 re0 13689 . . . . . . . . . . . 12 (ℜ‘0) = 0
1513, 14syl6eq 2660 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (0...3) → (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))) = 0)
1615ifeq1d 4054 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0))
17 ifid 4075 . . . . . . . . . 10 if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), 0, 0) = 0
1816, 17syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...3) → if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0) = 0)
1918mpteq2dv 4668 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
20 fconstmpt 5075 . . . . . . . 8 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
2119, 20syl6eqr 2662 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (0...3) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)) = (ℝ × {0}))
2221fveq2d 6092 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
23 itg20 23255 . . . . . 6 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
2422, 23syl6eq 2660 . . . . 5 (𝑘 ∈ (0...3) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0))) = 0)
2524oveq2d 6543 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = ((i↑𝑘) · 0))
266mul01d 10087 . . . 4 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · 0) = 0)
2725, 26eqtrd 2644 . . 3 (𝑘 ∈ (0...3) → ((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = 0)
2827sumeq2i 14226 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)((i↑𝑘) · (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥𝐴 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(0 / (i↑𝑘)))), (ℜ‘(0 / (i↑𝑘))), 0)))) = Σ𝑘 ∈ (0...3)0
29 fzfi 12591 . . . 4 (0...3) ∈ Fin
3029olci 405 . . 3 ((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin)
31 sumz 14249 . . 3 (((0...3) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...3) ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0)
3230, 31ax-mp 5 . 2 Σ𝑘 ∈ (0...3)0 = 0
332, 28, 323eqtri 2636 1 𝐴0 d𝑥 = 0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wo 382  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wss 3540  ifcif 4036  {csn 4125   class class class wbr 4578  cmpt 4638   × cxp 5026  cfv 5790  (class class class)co 6527  Fincfn 7819  cc 9791  cr 9792  0cc0 9793  ici 9795   · cmul 9798  cle 9932   / cdiv 10536  3c3 10921  0cn0 11142  cz 11213  cuz 11522  ...cfz 12155  cexp 12680  cre 13634  Σcsu 14213  2citg2 23136  citg 23138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-inf2 8399  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870  ax-pre-sup 9871  ax-addf 9872
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-int 4406  df-iun 4452  df-disj 4549  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-of 6773  df-ofr 6774  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-2o 7426  df-oadd 7429  df-er 7607  df-map 7724  df-pm 7725  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-sup 8209  df-inf 8210  df-oi 8276  df-card 8626  df-cda 8851  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-div 10537  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-q 11624  df-rp 11668  df-xadd 11782  df-ioo 12009  df-ico 12011  df-icc 12012  df-fz 12156  df-fzo 12293  df-fl 12413  df-seq 12622  df-exp 12681  df-hash 12938  df-cj 13636  df-re 13637  df-im 13638  df-sqrt 13772  df-abs 13773  df-clim 14016  df-sum 14214  df-xmet 19509  df-met 19510  df-ovol 22985  df-vol 22986  df-mbf 23139  df-itg1 23140  df-itg2 23141  df-itg 23143  df-0p 23188
This theorem is referenced by:  itgge0  23328  itgfsum  23344
  Copyright terms: Public domain W3C validator