MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itunifn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itunifn 9099
Description: Functionality of the iterated union. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ituni.u 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
Assertion
Ref Expression
itunifn (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem itunifn
StepHypRef Expression
1 frfnom 7394 . 2 (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω
2 ituni.u . . . 4 𝑈 = (𝑥 ∈ V ↦ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝑥) ↾ ω))
32itunifval 9098 . . 3 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) = (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω))
43fneq1d 5880 . 2 (𝐴𝑉 → ((𝑈𝐴) Fn ω ↔ (rec((𝑦 ∈ V ↦ 𝑦), 𝐴) ↾ ω) Fn ω))
51, 4mpbiri 246 1 (𝐴𝑉 → (𝑈𝐴) Fn ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172   cuni 4366  cmpt 4637  cres 5029   Fn wfn 5784  cfv 5789  ωcom 6934  reccrdg 7369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4711  ax-pow 4763  ax-pr 4827  ax-un 6824  ax-inf2 8398
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4938  df-id 4942  df-po 4948  df-so 4949  df-fr 4986  df-we 4988  df-xp 5033  df-rel 5034  df-cnv 5035  df-co 5036  df-dm 5037  df-rn 5038  df-res 5039  df-ima 5040  df-pred 5582  df-ord 5628  df-on 5629  df-lim 5630  df-suc 5631  df-iota 5753  df-fun 5791  df-fn 5792  df-f 5793  df-f1 5794  df-fo 5795  df-f1o 5796  df-fv 5797  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370
This theorem is referenced by:  itunisuc  9101  itunitc1  9102  itunitc  9103  ituniiun  9104  hsmexlem5  9112
  Copyright terms: Public domain W3C validator