MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iuncld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iuncld 21043
Description: A finite indexed union of closed sets is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
iuncld ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iuncld
StepHypRef Expression
1 difin 3996 . . . 4 (𝑋 ∖ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))) = (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))
2 iundif2 4731 . . . 4 𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))
31, 2eqtr4i 2777 . . 3 (𝑋 ∖ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))) = 𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵))
4 clscld.1 . . . . . . . 8 𝑋 = 𝐽
54cldss 21027 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐵𝑋)
6 dfss4 3993 . . . . . . 7 (𝐵𝑋 ↔ (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝐵)
75, 6sylib 208 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝐵)
87ralimi 3082 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝐵)
983ad2ant3 1129 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → ∀𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝐵)
10 iuneq2 4681 . . . 4 (∀𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝐵 𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝑥𝐴 𝐵)
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 (𝑋 ∖ (𝑋𝐵)) = 𝑥𝐴 𝐵)
123, 11syl5eq 2798 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))) = 𝑥𝐴 𝐵)
13 simp1 1130 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝐽 ∈ Top)
144cldopn 21029 . . . . 5 (𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → (𝑋𝐵) ∈ 𝐽)
1514ralimi 3082 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽) → ∀𝑥𝐴 (𝑋𝐵) ∈ 𝐽)
164riinopn 20907 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 (𝑋𝐵) ∈ 𝐽) → (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵)) ∈ 𝐽)
1715, 16syl3an3 1168 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵)) ∈ 𝐽)
184opncld 21031 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵)) ∈ 𝐽) → (𝑋 ∖ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
1913, 17, 18syl2anc 696 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → (𝑋 ∖ (𝑋 𝑥𝐴 (𝑋𝐵))) ∈ (Clsd‘𝐽))
2012, 19eqeltrrd 2832 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽)) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ (Clsd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wral 3042  cdif 3704  cin 3706  wss 3707   cuni 4580   ciun 4664   ciin 4665  cfv 6041  Fincfn 8113  Topctop 20892  Clsdccld 21014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-iin 4667  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-fin 8117  df-top 20893  df-cld 21017
This theorem is referenced by:  unicld  21044  t1ficld  21325  mblfinlem1  33751  mblfinlem2  33752
  Copyright terms: Public domain W3C validator