MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb 9151
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 9152). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2 simpl 471 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3 reldom 7723 . . . . . . . 8 Rel ≼
43brrelexi 4976 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
6 ovex 6454 . . . . . . 7 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
76rgenw 2812 . . . . . 6 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
8 iunexg 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
95, 7, 8sylancl 692 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
10 acncc 9021 . . . . 5 AC ω = V
119, 10syl6eleqr 2603 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω)
12 acndom 8633 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ( 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴))
132, 11, 12sylc 62 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴)
14 simpr 475 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
15 omex 8299 . . . . . 6 ω ∈ V
16 xpdom1g 7818 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
1715, 2, 16sylancr 693 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
18 xpomen 8597 . . . . 5 (ω × ω) ≈ ω
19 domentr 7777 . . . . 5 (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
2017, 18, 19sylancl 692 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
213brrelexi 4976 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2221ralimi 2840 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
23 iunexg 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
244, 22, 23syl2an 492 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
25 omelon 8302 . . . . . 6 ω ∈ On
26 onenon 8534 . . . . . 6 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ω ∈ dom card
28 numacn 8631 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
2924, 27, 28mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
30 acndom2 8636 . . . 4 ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
3120, 29, 30sylc 62 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
321, 13, 14, 31iundomg 9118 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
33 domtr 7771 . 2 (( 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
3432, 20, 33syl2anc 690 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  wcel 1938  wral 2800  Vcvv 3077  {csn 4028   ciun 4353   class class class wbr 4481   × cxp 4930  dom cdm 4932  Oncon0 5530  (class class class)co 6426  ωcom 6833  𝑚 cmap 7620  cen 7714  cdom 7715  cardccrd 8520  AC wacn 8523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cc 9016
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-oadd 7327  df-er 7505  df-map 7622  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527
This theorem is referenced by:  unictb  9152  heiborlem3  32672
  Copyright terms: Public domain W3C validator