MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb 9393
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 9394). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2 simpl 473 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3 reldom 7958 . . . . . . . 8 Rel ≼
43brrelexi 5156 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
6 ovex 6675 . . . . . . 7 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
76rgenw 2923 . . . . . 6 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
8 iunexg 7140 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
95, 7, 8sylancl 694 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
10 acncc 9259 . . . . 5 AC ω = V
119, 10syl6eleqr 2711 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω)
12 acndom 8871 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ( 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴))
132, 11, 12sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴)
14 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
15 omex 8537 . . . . . 6 ω ∈ V
16 xpdom1g 8054 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
1715, 2, 16sylancr 695 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
18 xpomen 8835 . . . . 5 (ω × ω) ≈ ω
19 domentr 8012 . . . . 5 (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
2017, 18, 19sylancl 694 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
213brrelexi 5156 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2221ralimi 2951 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
23 iunexg 7140 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
244, 22, 23syl2an 494 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
25 omelon 8540 . . . . . 6 ω ∈ On
26 onenon 8772 . . . . . 6 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2725, 26ax-mp 5 . . . . 5 ω ∈ dom card
28 numacn 8869 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
2924, 27, 28mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
30 acndom2 8874 . . . 4 ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
3120, 29, 30sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
321, 13, 14, 31iundomg 9360 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
33 domtr 8006 . 2 (( 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
3432, 20, 33syl2anc 693 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  wcel 1989  wral 2911  Vcvv 3198  {csn 4175   ciun 4518   class class class wbr 4651   × cxp 5110  dom cdm 5112  Oncon0 5721  (class class class)co 6647  ωcom 7062  𝑚 cmap 7854  cen 7949  cdom 7950  cardccrd 8758  AC wacn 8761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-inf2 8535  ax-cc 9254
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-1st 7165  df-2nd 7166  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-1o 7557  df-oadd 7561  df-er 7739  df-map 7856  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-fin 7956  df-oi 8412  df-card 8762  df-acn 8765
This theorem is referenced by:  unictb  9394  heiborlem3  33592
  Copyright terms: Public domain W3C validator