Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iundjiunlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iundjiunlem 39980
Description: The sets in the sequence 𝐹 are disjoint. (Contributed by Glauco Siliprandi, 17-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iundjiunlem.z 𝑍 = (ℤ𝑁)
iundjiunlem.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
iundjiunlem.j (𝜑𝐽𝑍)
iundjiunlem.k (𝜑𝐾𝑍)
iundjiunlem.lt (𝜑𝐽 < 𝐾)
Assertion
Ref Expression
iundjiunlem (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐸,𝑛   𝑖,𝐽,𝑛   𝑖,𝐾,𝑛   𝑖,𝑁,𝑛   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑖,𝑛)   𝐹(𝑖,𝑛)   𝑍(𝑖)

Proof of Theorem iundjiunlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incom 3783 . . 3 ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽))
21a1i 11 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)))
3 simpl 473 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝜑)
4 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ (𝐹𝐾))
5 iundjiunlem.k . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑍)
6 fveq2 6148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐾))
7 oveq2 6612 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝐾 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐾))
87iuneq1d 4511 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝐾 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
96, 8difeq12d 3707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝐾 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
10 iundjiunlem.f . . . . . . . . . . . 12 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)))
11 fvex 6158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐸𝐾) ∈ V
12 difexg 4768 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐸𝐾) ∈ V → ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V)
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) ∈ V
149, 10, 13fvmpt 6239 . . . . . . . . . . 11 (𝐾𝑍 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
155, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
163, 15syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐾) = ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
174, 16eleqtrd 2700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → 𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)))
18 eldifn 3711 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐾) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
20 iundjiunlem.j . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐽𝑍)
21 iundjiunlem.z . . . . . . . . . . . 12 𝑍 = (ℤ𝑁)
2220, 21syl6eleq 2708 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ (ℤ𝑁))
2321a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑍 = (ℤ𝑁))
245, 23eleqtrd 2700 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ𝑁))
25 eluzelz 11641 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
27 iundjiunlem.lt . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 < 𝐾)
2822, 26, 273jca 1240 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
29 elfzo2 12414 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) ↔ (𝐽 ∈ (ℤ𝑁) ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐽 < 𝐾))
3028, 29sylibr 224 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾))
31 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝐽 → (𝐸𝑖) = (𝐸𝐽))
3231ssiun2s 4530 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ (𝑁..^𝐾) → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐸𝐽) ⊆ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖))
3433ssneld 3585 . . . . . . 7 (𝜑 → (¬ 𝑥 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐾)(𝐸𝑖) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽)))
353, 19, 34sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
36 eldifi 3710 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) → 𝑥 ∈ (𝐸𝐽))
3736con3i 150 . . . . . 6 𝑥 ∈ (𝐸𝐽) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
3835, 37syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
39 fveq2 6148 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 → (𝐸𝑛) = (𝐸𝐽))
40 oveq2 6612 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝐽 → (𝑁..^𝑛) = (𝑁..^𝐽))
4140iuneq1d 4511 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝐽 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖) = 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖))
4239, 41difeq12d 3707 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐽 → ((𝐸𝑛) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝑛)(𝐸𝑖)) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
43 fvex 6158 . . . . . . . . . 10 (𝐸𝐽) ∈ V
44 difexg 4768 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝐽) ∈ V → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) ∈ V
4642, 10, 45fvmpt 6239 . . . . . . . 8 (𝐽𝑍 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4720, 46syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4847adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → (𝐹𝐽) = ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)))
4948eqcomd 2627 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ((𝐸𝐽) ∖ 𝑖 ∈ (𝑁..^𝐽)(𝐸𝑖)) = (𝐹𝐽))
5038, 49neleqtrd 2719 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐹𝐾)) → ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5150ralrimiva 2960 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
52 disj 3989 . . 3 (((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐹𝐾) ¬ 𝑥 ∈ (𝐹𝐽))
5351, 52sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐾) ∩ (𝐹𝐽)) = ∅)
542, 53eqtrd 2655 1 (𝜑 → ((𝐹𝐽) ∩ (𝐹𝐾)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  Vcvv 3186  cdif 3552  cin 3554  wss 3555  c0 3891   ciun 4485   class class class wbr 4613  cmpt 4673  cfv 5847  (class class class)co 6604   < clt 10018  cz 11321  cuz 11631  ..^cfzo 12406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407
This theorem is referenced by:  iundjiun  39981
  Copyright terms: Public domain W3C validator