MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunexg 7089
Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4518 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
21adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
3 abrexexg 7088 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
4 uniexg 6908 . . . 4 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
65adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
72, 6eqeltrd 2698 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  {cab 2607  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186   cuni 4402   ciun 4485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855
This theorem is referenced by:  abrexex2g  7090  opabex3d  7091  opabex3  7092  iunex  7093  xpexgALT  7106  mpt2exxg  7189  ixpexg  7876  ixpssmapg  7882  iundom  9308  iunctb  9340  cshwsex  15731  imasplusg  16098  imasmulr  16099  imasvsca  16101  imasip  16102  gsum2d2  18294  gsumcom2  18295  dprd2da  18362  ptcls  21329  ptcmplem2  21767  elpwiuncl  29203  aciunf1lem  29301  esum2dlem  29932  esum2d  29933  esumiun  29934  omssubadd  30140  eulerpartlemgs2  30220  bnj535  30665  bnj546  30671  bnj893  30703  bnj1136  30770  bnj1413  30808  trpredtr  31428  trpredmintr  31429  trpredrec  31436  eliunov2  37449  fvmptiunrelexplb0d  37454  fvmptiunrelexplb1d  37456  iunrelexp0  37472  unirnmapsn  38877  iunmapss  38878  ssmapsn  38879  iunmapsn  38880  sge0iunmptlemfi  39934  sge0iunmpt  39939  smflimlem1  40283  mpt2exxg2  41401
  Copyright terms: Public domain W3C validator