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Theorem iunfictbso 9127
Description: Countability of a countable union of finite sets with a strict (not globally well) order fulfilling the choice role. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunfictbso ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)

Proof of Theorem iunfictbso
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8713 . . . . 5 ω ∈ V
210dom 8255 . . . 4 ∅ ≼ ω
3 breq1 4807 . . . 4 ( 𝐴 = ∅ → ( 𝐴 ≼ ω ↔ ∅ ≼ ω))
42, 3mpbiri 248 . . 3 ( 𝐴 = ∅ → 𝐴 ≼ ω)
54a1d 25 . 2 ( 𝐴 = ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
6 n0 4074 . . 3 ( 𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎 𝐴)
7 ne0i 4064 . . . . . . . . . 10 (𝑎 𝐴 𝐴 ≠ ∅)
8 unieq 4596 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
9 uni0 4617 . . . . . . . . . . . 12 ∅ = ∅
108, 9syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ∅ → 𝐴 = ∅)
1110necon3i 2964 . . . . . . . . . 10 ( 𝐴 ≠ ∅ → 𝐴 ≠ ∅)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑎 𝐴𝐴 ≠ ∅)
1312adantl 473 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≠ ∅)
14 simpl1 1228 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
15 reldom 8127 . . . . . . . . . 10 Rel ≼
1615brrelexi 5315 . . . . . . . . 9 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
17 0sdomg 8254 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∅ ≺ 𝐴𝐴 ≠ ∅))
1913, 18mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∅ ≺ 𝐴)
20 fodomr 8276 . . . . . . 7 ((∅ ≺ 𝐴𝐴 ≼ ω) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
2119, 14, 20syl2anc 696 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → ∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴)
22 omelon 8716 . . . . . . . . . . . 12 ω ∈ On
23 onenon 8965 . . . . . . . . . . . 12 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ω ∈ dom card
25 xpnum 8967 . . . . . . . . . . 11 ((ω ∈ dom card ∧ ω ∈ dom card) → (ω × ω) ∈ dom card)
2624, 24, 25mp2an 710 . . . . . . . . . 10 (ω × ω) ∈ dom card
27 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
28 fof 6276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏:ω–onto𝐴𝑏:ω⟶𝐴)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑏:ω⟶𝐴)
30 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝑓 ∈ ω)
3129, 30ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
3231adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ∈ 𝐴)
33 elssuni 4619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑏𝑓) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
3531, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ⊆ 𝐴)
36 simpll3 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or 𝐴)
37 soss 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑏𝑓) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑓)))
3835, 36, 37sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐵 Or (𝑏𝑓))
39 simpll2 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → 𝐴 ⊆ Fin)
4039, 31sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑏𝑓) ∈ Fin)
41 finnisoeu 9126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 Or (𝑏𝑓) ∧ (𝑏𝑓) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
4238, 40, 41syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
43 iotacl 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))})
45 iotaex 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ V
46 isoeq1 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
47 isoeq1 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))))
4847cbvabv 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))}
4945, 46, 48elab2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
5044, 49sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))
51 isof1o 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓))
52 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))–1-1-onto→(𝑏𝑓) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5350, 51, 523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))):(card‘(𝑏𝑓))⟶(𝑏𝑓))
5453ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ (𝑏𝑓))
5534, 54sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) ∈ 𝐴)
56 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝑎 𝐴)
5756ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) ∧ ¬ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓))) → 𝑎 𝐴)
5855, 57ifclda 4264 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
5958ralrimivva 3109 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴)
60 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)) = (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))
6160fmpt2 7405 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑓 ∈ ω ∀𝑔 ∈ ω if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) ∈ 𝐴 ↔ (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
6259, 61sylib 208 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴)
63 eluni 4591 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 𝐴 ↔ ∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴))
64 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑏:ω–onto𝐴)
65 simprr 813 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → 𝑖𝐴)
66 foelrn 6541 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑏:ω–onto𝐴𝑖𝐴) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
6764, 65, 66syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗))
68 simprrl 823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑗 ∈ ω)
69 ordom 7239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Ord ω
70 simpll2 1257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐴 ⊆ Fin)
71 simplrr 820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω–onto𝐴)
7271, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑏:ω⟶𝐴)
7372, 68ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐴)
7470, 73sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ∈ Fin)
75 ficardom 8977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏𝑗) ∈ Fin → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω)
77 ordelss 5900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((Ord ω ∧ (card‘(𝑏𝑗)) ∈ ω) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
7869, 76, 77sylancr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (card‘(𝑏𝑗)) ⊆ ω)
79 elssuni 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑏𝑗) ∈ 𝐴 → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
8073, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑏𝑗) ⊆ 𝐴)
81 simpll3 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or 𝐴)
82 soss 5205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑗) ⊆ 𝐴 → (𝐵 Or 𝐴𝐵 Or (𝑏𝑗)))
8380, 81, 82sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝐵 Or (𝑏𝑗))
84 finnisoeu 9126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐵 Or (𝑏𝑗) ∧ (𝑏𝑗) ∈ Fin) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
8583, 74, 84syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
86 iotacl 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (∃! Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))})
88 iotaex 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ V
89 isoeq1 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑎 = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) → (𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
90 isoeq1 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ( = 𝑎 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) ↔ 𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
9190cbvabv 2885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} = {𝑎𝑎 Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))}
9288, 89, 91elab2 3494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) ∈ { Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))} ↔ (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
9387, 92sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))
94 isof1o 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))) Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗))
96 f1ocnv 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)))
97 f1of 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)–1-1-onto→(card‘(𝑏𝑗)) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
9895, 96, 973syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(𝑏𝑗)⟶(card‘(𝑏𝑗)))
99 simprll 821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐𝑖)
100 simprrr 824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑖 = (𝑏𝑗))
10199, 100eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 ∈ (𝑏𝑗))
10298, 101ffvelrnd 6523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)))
10378, 102sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω)
104 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → (𝑏𝑓) = (𝑏𝑗))
105104fveq2d 6356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)))
106105eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)) ↔ 𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
107 isoeq4 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((card‘(𝑏𝑓)) = (card‘(𝑏𝑗)) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
108105, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓))))
109 isoeq5 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑏𝑓) = (𝑏𝑗) → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
110104, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
111108, 110bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑓 = 𝑗 → ( Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)) ↔ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
112111iotabidv 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓 = 𝑗 → (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓))) = (℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))))
113112fveq1d 6354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑗 → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔))
114106, 113ifbieq1d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑗 → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎) = if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎))
115 eleq1 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → (𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)) ↔ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗))))
116 fveq2 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
117115, 116ifbieq1d 4253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔 = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) → if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑔), 𝑎) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
118 fvex 6362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) ∈ V
119 vex 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 𝑎 ∈ V
120118, 119ifex 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) ∈ V
121114, 117, 60, 120ovmpt2 6961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
12268, 103, 121syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎))
123102iftrued 4238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → if(((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ (card‘(𝑏𝑗)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)), 𝑎) = ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
124 f1ocnvfv2 6696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗))):(card‘(𝑏𝑗))–1-1-onto→(𝑏𝑗) ∧ 𝑐 ∈ (𝑏𝑗)) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
12595, 101, 124syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)) = 𝑐)
126122, 123, 1253eqtrrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐)))
127 rspceov 6855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ω ∧ ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐) ∈ ω ∧ 𝑐 = (𝑗(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑗)), (𝑏𝑗)))‘𝑐))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
12868, 103, 126, 127syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ ((𝑐𝑖𝑖𝐴) ∧ (𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)))) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
129128expr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ((𝑗 ∈ ω ∧ 𝑖 = (𝑏𝑗)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
130129expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (𝑗 ∈ ω → (𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))))
131130rexlimdv 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → (∃𝑗 ∈ ω 𝑖 = (𝑏𝑗) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13267, 131mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) ∧ (𝑐𝑖𝑖𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
133132ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ((𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
134133exlimdv 2010 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (∃𝑖(𝑐𝑖𝑖𝐴) → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13563, 134syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑐 𝐴 → ∃𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
136135ralrimiv 3103 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒))
137 foov 6973 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 ↔ ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)⟶ 𝐴 ∧ ∀𝑐 𝐴𝑑 ∈ ω ∃𝑒 ∈ ω 𝑐 = (𝑑(𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎))𝑒)))
13862, 136, 137sylanbrc 701 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → (𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴)
139 fodomnum 9070 . . . . . . . . . 10 ((ω × ω) ∈ dom card → ((𝑓 ∈ ω, 𝑔 ∈ ω ↦ if(𝑔 ∈ (card‘(𝑏𝑓)), ((℩ Isom E , 𝐵 ((card‘(𝑏𝑓)), (𝑏𝑓)))‘𝑔), 𝑎)):(ω × ω)–onto 𝐴 𝐴 ≼ (ω × ω)))
14026, 138, 139mpsyl 68 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ (ω × ω))
141 xpomen 9028 . . . . . . . . 9 (ω × ω) ≈ ω
142 domentr 8180 . . . . . . . . 9 (( 𝐴 ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
143140, 141, 142sylancl 697 . . . . . . . 8 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ (𝑎 𝐴𝑏:ω–onto𝐴)) → 𝐴 ≼ ω)
144143expr 644 . . . . . . 7 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
145144exlimdv 2010 . . . . . 6 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → (∃𝑏 𝑏:ω–onto𝐴 𝐴 ≼ ω))
14621, 145mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) ∧ 𝑎 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
147146expcom 450 . . . 4 (𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
148147exlimiv 2007 . . 3 (∃𝑎 𝑎 𝐴 → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1496, 148sylbi 207 . 2 ( 𝐴 ≠ ∅ → ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω))
1505, 149pm2.61ine 3015 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐴 ⊆ Fin ∧ 𝐵 Or 𝐴) → 𝐴 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2139  ∃!weu 2607  {cab 2746  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058  ifcif 4230   cuni 4588   class class class wbr 4804   E cep 5178   Or wor 5186   × cxp 5264  ccnv 5265  dom cdm 5266  Ord word 5883  Oncon0 5884  cio 6010  wf 6045  ontowfo 6047  1-1-ontowf1o 6048  cfv 6049   Isom wiso 6050  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  ωcom 7230  cen 8118  cdom 8119  csdm 8120  Fincfn 8121  cardccrd 8951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958
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