Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunhoiioolem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunhoiioolem 41395
Description: A n-dimensional open interval expressed as the indexed union of half-open intervals. One side of the double inclusion. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunhoiioolem.K 𝑘𝜑
iunhoiioolem.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
iunhoiioolem.n (𝜑𝑋 ≠ ∅)
iunhoiioolem.a ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
iunhoiioolem.b ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
iunhoiioolem.f (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
iunhoiioolem.c 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
iunhoiioolem (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛   𝑘,𝐹,𝑛   𝑘,𝑋   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝐵(𝑘,𝑛)   𝐶(𝑘)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem iunhoiioolem
StepHypRef Expression
1 iunhoiioolem.K . . . . . 6 𝑘𝜑
2 eqid 2760 . . . . . 6 (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) = (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
3 iunhoiioolem.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
4 ixpf 8096 . . . . . . . . . . 11 (𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) → 𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
53, 4syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝑋 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
6 ioossre 12428 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
76rgenw 3062 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
87a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
9 iunss 4713 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ ↔ ∀𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
108, 9sylibr 224 . . . . . . . . . 10 (𝜑 𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
115, 10fssd 6218 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ)
1211ffvelrnda 6522 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
13 iunhoiioolem.a . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
1412, 13resubcld 10650 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
1513rexrd 10281 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 iunhoiioolem.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
173adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵))
18 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
19 fvixp2 39888 . . . . . . . . . 10 ((𝐹X𝑘𝑋 (𝐴(,)𝐵) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
2017, 18, 19syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵))
21 ioogtlb 40220 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2215, 16, 20, 21syl3anc 1477 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴 < (𝐹𝑘))
2313, 12posdifd 10806 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴 < (𝐹𝑘) ↔ 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
2422, 23mpbid 222 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
2514, 24elrpd 12062 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ+)
261, 2, 25rnmptssd 39884 . . . . 5 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ+)
27 iunhoiioolem.c . . . . . 6 𝐶 = inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
28 ltso 10310 . . . . . . . 8 < Or ℝ
2928a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ)
30 iunhoiioolem.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
312rnmptfi 39850 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ Fin → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
33 iunhoiioolem.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
341, 25, 2, 33rnmptn0 39912 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅)
351, 2, 14rnmptssd 39884 . . . . . . 7 (𝜑 → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
36 fiinfcl 8572 . . . . . . 7 (( < Or ℝ ∧ (ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ≠ ∅ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3729, 32, 34, 35, 36syl13anc 1479 . . . . . 6 (𝜑 → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3827, 37syl5eqel 2843 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
3926, 38sseldd 3745 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ ℝ+)
40 rpgtrecnn 40095 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
4139, 40syl 17 . . 3 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶)
423elexd 3354 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
4342ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 ∈ V)
445ffnd 6207 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝑋)
4544ad2antrr 764 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹 Fn 𝑋)
46 nfv 1992 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑛 ∈ ℕ
471, 46nfan 1977 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑛 ∈ ℕ)
48 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘(1 / 𝑛)
49 nfcv 2902 . . . . . . . . . 10 𝑘 <
50 nfmpt1 4899 . . . . . . . . . . . . 13 𝑘(𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
5150nfrn 5523 . . . . . . . . . . . 12 𝑘ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
52 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . 12 𝑘
5351, 52, 49nfinf 8553 . . . . . . . . . . 11 𝑘inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < )
5427, 53nfcxfr 2900 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐶
5548, 49, 54nfbr 4851 . . . . . . . . 9 𝑘(1 / 𝑛) < 𝐶
5647, 55nfan 1977 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶)
5713adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
58 nnrecre 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5958ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
6057, 59readdcld 10261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
6160rexrd 10281 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6261adantlr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
6316adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6463adantlr 753 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐵 ∈ ℝ*)
65 ressxr 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℝ*
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℝ*)
6711, 66fssd 6218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6867ad2antrr 764 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹:𝑋⟶ℝ*)
6968ffvelrnda 6522 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ*)
7060adantlr 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
7112ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
7259adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
7335, 38sseldd 3745 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
7473ad3antrrr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ∈ ℝ)
7514ad4ant14 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ℝ)
76 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < 𝐶)
7735ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ)
7832ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin)
79 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋𝑘𝑋)
80 ovexd 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V)
812elrnmpt1 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘𝑋 ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ V) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8279, 80, 81syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑋 → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
8382adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
84 infrefilb 40098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ⊆ ℝ ∧ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)) ∈ Fin ∧ ((𝐹𝑘) − 𝐴) ∈ ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴))) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8577, 78, 83, 84syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → inf(ran (𝑘𝑋 ↦ ((𝐹𝑘) − 𝐴)), ℝ, < ) ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8627, 85syl5eqbr 4839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8786adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐶 ≤ ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8872, 74, 75, 76, 87ltletrd 10389 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴))
8957adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → 𝐴 ∈ ℝ)
9089, 72, 71ltaddsub2d 10820 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → ((𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘) ↔ (1 / 𝑛) < ((𝐹𝑘) − 𝐴)))
9188, 90mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) < (𝐹𝑘))
9270, 71, 91ltled 10377 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐴 + (1 / 𝑛)) ≤ (𝐹𝑘))
93 iooltub 40238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝐹𝑘) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9415, 16, 20, 93syl3anc 1477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9594ad4ant14 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) < 𝐵)
9662, 64, 69, 92, 95elicod 12417 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) ∧ 𝑘𝑋) → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9796ex 449 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝑘𝑋 → (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
9856, 97ralrimi 3095 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
9943, 45, 983jca 1123 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
100 elixp2 8078 . . . . . 6 (𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ (𝐹 ∈ V ∧ 𝐹 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑘𝑋 (𝐹𝑘) ∈ ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10199, 100sylibr 224 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ (1 / 𝑛) < 𝐶) → 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
102101ex 449 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((1 / 𝑛) < 𝐶𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
103102reximdva 3155 . . 3 (𝜑 → (∃𝑛 ∈ ℕ (1 / 𝑛) < 𝐶 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵)))
10441, 103mpd 15 . 2 (𝜑 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
105 eliun 4676 . 2 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐹X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
106104, 105sylibr 224 1 (𝜑𝐹 𝑛 ∈ ℕ X𝑘𝑋 ((𝐴 + (1 / 𝑛))[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wnf 1857  wcel 2139  wne 2932  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715  c0 4058   ciun 4672   class class class wbr 4804  cmpt 4881   Or wor 5186  ran crn 5267   Fn wfn 6044  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  Xcixp 8074  Fincfn 8121  infcinf 8512  cr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  *cxr 10265   < clt 10266  cle 10267  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  +crp 12025  (,)cioo 12368  [,)cico 12370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-fl 12787
This theorem is referenced by:  iunhoiioo  41396
  Copyright terms: Public domain W3C validator