Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iunmapss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmapss 38916
 Description: The indexed union of set exponentiations is a subset of the set exponentiation of the indexed union. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iunmapss.x 𝑥𝜑
iunmapss.a (𝜑𝐴𝑉)
iunmapss.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
Assertion
Ref Expression
iunmapss (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunmapss
StepHypRef Expression
1 iunmapss.x . . 3 𝑥𝜑
2 iunmapss.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑉)
3 iunmapss.b . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝑊)
43ex 450 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵𝑊))
51, 4ralrimi 2953 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊)
6 iunexg 7104 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
72, 5, 6syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
87adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ssiun2 4536 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
109adantl 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 𝑥𝐴 𝐵)
11 mapss 7860 . . . . 5 (( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ∧ 𝐵 𝑥𝐴 𝐵) → (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
128, 10, 11syl2anc 692 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
1312ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶)))
141, 13ralrimi 2953 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
15 nfiu1 4523 . . . 4 𝑥 𝑥𝐴 𝐵
16 nfcv 2761 . . . 4 𝑥𝑚
17 nfcv 2761 . . . 4 𝑥𝐶
1815, 16, 17nfov 6641 . . 3 𝑥( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶)
1918iunssf 38785 . 2 ( 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
2014, 19sylibr 224 1 (𝜑 𝑥𝐴 (𝐵𝑚 𝐶) ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384  Ⅎwnf 1705   ∈ wcel 1987  ∀wral 2908  Vcvv 3190   ⊆ wss 3560  ∪ ciun 4492  (class class class)co 6615   ↑𝑚 cmap 7817 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-map 7819 This theorem is referenced by:  iunmapsn  38918
 Copyright terms: Public domain W3C validator