Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl 23521
 Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . . . 5 𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2 nfcsb1v 3690 . . . . . 6 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴
32nfel1 2917 . . . . 5 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
4 csbeq1a 3683 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
54eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
61, 3, 5cbvral 3306 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
7 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝐴
87, 2, 4cbviun 4709 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴
9 csbeq1 3677 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
109iundisj 23516 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
118, 10eqtri 2782 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
12 difexg 4960 . . . . . . 7 (𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
1312ralimi 3090 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
14 dfiun2g 4704 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1611, 15syl5eq 2806 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
176, 16sylbi 207 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
18 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))
1918rnmpt 5526 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2019unieqi 4597 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2117, 20syl6eqr 2812 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)))
223, 5rspc 3443 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
2322impcom 445 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
24 fzofi 12967 . . . . . 6 (1..^𝑘) ∈ Fin
25 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
2726nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
28 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
2928eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3025, 27, 29cbvral 3306 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
31 fzossnn 12711 . . . . . . . . 9 (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32 ssralv 3807 . . . . . . . . 9 ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3430, 33sylbi 207 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3534adantr 472 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
36 finiunmbl 23512 . . . . . 6 (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3724, 35, 36sylancr 698 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
38 difmbl 23511 . . . . 5 ((𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
3923, 37, 38syl2anc 696 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
4039, 18fmptd 6548 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41 csbeq1 3677 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
4241iundisj2 23517 . . . 4 Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
43 simpr 479 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
44 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
4544nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
46 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
4746eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
4845, 47rspc 3443 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
4948impcom 445 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
50 difexg 4960 . . . . . . 7 (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
52 csbeq1 3677 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
53 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
5453iuneq1d 4697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
5552, 54difeq12d 3872 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5655, 18fvmptg 6442 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5743, 51, 56syl2anc 696 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5857disjeq2dv 4777 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)))
5942, 58mpbiri 248 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖))
60 eqid 2760 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦))))
6140, 59, 60voliunlem2 23519 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ dom vol)
6221, 61eqeltrd 2839 1 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139  {cab 2746  ∀wral 3050  ∃wrex 3051  Vcvv 3340  ⦋csb 3674   ∖ cdif 3712   ∩ cin 3714   ⊆ wss 3715  ∪ cuni 4588  ∪ ciun 4672  Disj wdisj 4772   ↦ cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  1c1 10129  ℕcn 11212  ..^cfzo 12659  vol*covol 23431  volcvol 23432 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434 This theorem is referenced by:  volsup  23524  iunmbl2  23525  vitalilem4  23579  vitalilem5  23580  ismbf3d  23620  itg2gt0  23726  voliune  30601  dmvolsal  41067  voliunsge0lem  41192
 Copyright terms: Public domain W3C validator