MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunmbl 23521
Description: The measurable sets are closed under countable union. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunmbl (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)

Proof of Theorem iunmbl
Dummy variables 𝑖 𝑘 𝑚 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1992 . . . . 5 𝑘 𝐴 ∈ dom vol
2 nfcsb1v 3690 . . . . . 6 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴
32nfel1 2917 . . . . 5 𝑛𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
4 csbeq1a 3683 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘𝐴 = 𝑘 / 𝑛𝐴)
54eleq1d 2824 . . . . 5 (𝑛 = 𝑘 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
61, 3, 5cbvral 3306 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
7 nfcv 2902 . . . . . . 7 𝑘𝐴
87, 2, 4cbviun 4709 . . . . . 6 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴
9 csbeq1 3677 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑚𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
109iundisj 23516 . . . . . 6 𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
118, 10eqtri 2782 . . . . 5 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)
12 difexg 4960 . . . . . . 7 (𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
1312ralimi 3090 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
14 dfiun2g 4704 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1513, 14syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ℕ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
1611, 15syl5eq 2806 . . . 4 (∀𝑘 ∈ ℕ 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
176, 16sylbi 207 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)})
18 eqid 2760 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))
1918rnmpt 5526 . . . 4 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2019unieqi 4597 . . 3 ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) = {𝑦 ∣ ∃𝑘 ∈ ℕ 𝑦 = (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)}
2117, 20syl6eqr 2812 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)))
223, 5rspc 3443 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
2322impcom 445 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
24 fzofi 12967 . . . . . 6 (1..^𝑘) ∈ Fin
25 nfv 1992 . . . . . . . . 9 𝑚 𝐴 ∈ dom vol
26 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴
2726nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑛𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
28 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
2928eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑚 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3025, 27, 29cbvral 3306 . . . . . . . 8 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
31 fzossnn 12711 . . . . . . . . 9 (1..^𝑘) ⊆ ℕ
32 ssralv 3807 . . . . . . . . 9 ((1..^𝑘) ⊆ ℕ → (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
3331, 32ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ ℕ 𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3430, 33sylbi 207 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3534adantr 472 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
36 finiunmbl 23512 . . . . . 6 (((1..^𝑘) ∈ Fin ∧ ∀𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
3724, 35, 36sylancr 698 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
38 difmbl 23511 . . . . 5 ((𝑘 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
3923, 37, 38syl2anc 696 . . . 4 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ dom vol)
4039, 18fmptd 6548 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)):ℕ⟶dom vol)
41 csbeq1 3677 . . . . 5 (𝑖 = 𝑚𝑖 / 𝑛𝐴 = 𝑚 / 𝑛𝐴)
4241iundisj2 23517 . . . 4 Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
43 simpr 479 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
44 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . 10 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴
4544nfel1 2917 . . . . . . . . 9 𝑛𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol
46 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑖𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
4746eleq1d 2824 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑖 → (𝐴 ∈ dom vol ↔ 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
4845, 47rspc 3443 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ℕ → (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol))
4948impcom 445 . . . . . . 7 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol)
50 difexg 4960 . . . . . . 7 (𝑖 / 𝑛𝐴 ∈ dom vol → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
5149, 50syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V)
52 csbeq1 3677 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖𝑘 / 𝑛𝐴 = 𝑖 / 𝑛𝐴)
53 oveq2 6821 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑖 → (1..^𝑘) = (1..^𝑖))
5453iuneq1d 4697 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑖 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴 = 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)
5552, 54difeq12d 3872 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑖 → (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5655, 18fvmptg 6442 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ ℕ ∧ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴) ∈ V) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5743, 51, 56syl2anc 696 . . . . 5 ((∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) = (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴))
5857disjeq2dv 4777 . . . 4 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → (Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖) ↔ Disj 𝑖 ∈ ℕ (𝑖 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑖)𝑚 / 𝑛𝐴)))
5942, 58mpbiri 248 . . 3 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → Disj 𝑖 ∈ ℕ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑖))
60 eqid 2760 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦)))) = (𝑦 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑥 ∩ ((𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴))‘𝑦))))
6140, 59, 60voliunlem2 23519 . 2 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → ran (𝑘 ∈ ℕ ↦ (𝑘 / 𝑛𝐴 𝑚 ∈ (1..^𝑘)𝑚 / 𝑛𝐴)) ∈ dom vol)
6221, 61eqeltrd 2839 1 (∀𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol → 𝑛 ∈ ℕ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  csb 3674  cdif 3712  cin 3714  wss 3715   cuni 4588   ciun 4672  Disj wdisj 4772  cmpt 4881  dom cdm 5266  ran crn 5267  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  1c1 10129  cn 11212  ..^cfzo 12659  vol*covol 23431  volcvol 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cc 9449  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-pm 8026  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xadd 12140  df-ioo 12372  df-ico 12374  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-rlim 14419  df-sum 14616  df-xmet 19941  df-met 19942  df-ovol 23433  df-vol 23434
This theorem is referenced by:  volsup  23524  iunmbl2  23525  vitalilem4  23579  vitalilem5  23580  ismbf3d  23620  itg2gt0  23726  voliune  30601  dmvolsal  41067  voliunsge0lem  41192
  Copyright terms: Public domain W3C validator