MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunocv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunocv 19944
Description: The orthocomplement of an indexed union. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
inocv.o = (ocv‘𝑊)
iunocv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
iunocv ( 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)   (𝑥)

Proof of Theorem iunocv
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunss 4527 . . . . . . 7 ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
2 eliun 4490 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑥𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦𝐵)
32imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4 r19.23v 3016 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
53, 4bitr4i 267 . . . . . . . . 9 ((𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
65albii 1744 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
7 df-ral 2912 . . . . . . . 8 (∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦(𝑦 𝑥𝐴 𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
8 df-ral 2912 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
98ralbii 2974 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
10 ralcom4 3210 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
119, 10bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦𝐵 → (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
126, 7, 113bitr4i 292 . . . . . . 7 (∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) ↔ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 12anbi12i 732 . . . . . 6 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
14 r19.26 3057 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
1513, 14bitr4i 267 . . . . 5 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
16 eliin 4491 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 𝑧 ∈ ( 𝐵)))
17 iunocv.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
18 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (·𝑖𝑊) = (·𝑖𝑊)
19 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
20 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
21 inocv.o . . . . . . . . . 10 = (ocv‘𝑊)
2217, 18, 19, 20, 21elocv 19931 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
23 3anan12 1049 . . . . . . . . 9 ((𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑧𝑉 ∧ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2422, 23bitri 264 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝑧𝑉 ∧ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2524baib 943 . . . . . . 7 (𝑧𝑉 → (𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2625ralbidv 2980 . . . . . 6 (𝑧𝑉 → (∀𝑥𝐴 𝑧 ∈ ( 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
2716, 26bitr2d 269 . . . . 5 (𝑧𝑉 → (∀𝑥𝐴 (𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ 𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
2815, 27syl5bb 272 . . . 4 (𝑧𝑉 → (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ 𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
2928pm5.32i 668 . . 3 ((𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))) ↔ (𝑧𝑉𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3017, 18, 19, 20, 21elocv 19931 . . . 4 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))))
31 3anan12 1049 . . . 4 (( 𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑧𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) ↔ (𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
3230, 31bitri 264 . . 3 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ (𝑧𝑉 ∧ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑉 ∧ ∀𝑦 𝑥𝐴 𝐵(𝑧(·𝑖𝑊)𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
33 elin 3774 . . 3 (𝑧 ∈ (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵)) ↔ (𝑧𝑉𝑧 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3429, 32, 333bitr4i 292 . 2 (𝑧 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵) ↔ 𝑧 ∈ (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵)))
3534eqriv 2618 1 ( 𝑥𝐴 𝐵) = (𝑉 𝑥𝐴 ( 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  cin 3554  wss 3555   ciun 4485   ciin 4486  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  Scalarcsca 15865  ·𝑖cip 15867  0gc0g 16021  ocvcocv 19923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-fv 5855  df-ov 6607  df-ocv 19926
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator