Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle 23271
 Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivthle (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12297 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 751 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 476 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth 23269 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 3700 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 681 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 10127 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 10223 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 ubicc2 12327 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2658 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6229 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
2827eqeq2d 2661 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
2926, 28syl5bb 272 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐵)))
3029rspcev 3340 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 487 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 751 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
3433simprd 478 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐵))
3514ralrimiva 2995 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
36 fveq2 6229 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3736eleq1d 2715 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3837rspcv 3336 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3925, 35, 38sylc 65 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
406, 39leloed 10218 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵))))
4134, 40mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4241adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4320, 32, 42mpjaodan 844 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
44 lbicc2 12326 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4521, 22, 23, 44syl3anc 1366 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
46 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
4746eqeq1d 2653 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) = 𝑈))
4847rspcev 3340 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4945, 48sylan 487 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
5033simpld 474 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
51 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5251eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5352rspcv 3336 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5445, 35, 53sylc 65 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5554, 6leloed 10218 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈)))
5650, 55mpbid 222 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈))
5743, 49, 56mpjaodan 844 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113  (,)cioo 12213  [,]cicc 12216  –cn→ccncf 22726 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-ioo 12217  df-icc 12220  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-cncf 22728 This theorem is referenced by:  ivthicc  23273  volivth  23421
 Copyright terms: Public domain W3C validator