MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthle 22945
Description: The intermediate value theorem with weak inequality, increasing case. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivthle.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
Assertion
Ref Expression
ivthle (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑐,𝐵   𝐷,𝑐,𝑥   𝐹,𝑐,𝑥   𝜑,𝑐,𝑥   𝐴,𝑐,𝑥   𝑈,𝑐,𝑥

Proof of Theorem ivthle
StepHypRef Expression
1 ioossicc 12082 . . . . 5 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2 ivth.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 ivth.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
54adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐵 ∈ ℝ)
6 ivth.3 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝑈 ∈ ℝ)
8 ivth.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 < 𝐵)
98adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐴 < 𝐵)
10 ivth.5 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
12 ivth.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
1312adantr 479 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
1514adantlr 746 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 simpr 475 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
173, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 16ivth 22943 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
18 ssrexv 3625 . . . . 5 ((𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵) → (∃𝑐 ∈ (𝐴(,)𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈))
191, 17, 18mpsyl 65 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵))) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
2019anassrs 677 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 < (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
212rexrd 9941 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
224rexrd 9941 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
232, 4, 8ltled 10032 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐵)
24 ubicc2 12112 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
2521, 22, 23, 24syl3anc 1317 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 eqcom 2612 . . . . . . 7 ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝑐))
27 fveq2 6084 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐵 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐵))
2827eqeq2d 2615 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐵 → (𝑈 = (𝐹𝑐) ↔ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
2926, 28syl5bb 270 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐵 → ((𝐹𝑐) = 𝑈𝑈 = (𝐹𝐵)))
3029rspcev 3277 . . . . 5 ((𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3125, 30sylan 486 . . . 4 ((𝜑𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
3231adantlr 746 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) ∧ 𝑈 = (𝐹𝐵)) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
33 ivthle.9 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈𝑈 ≤ (𝐹𝐵)))
3433simprd 477 . . . . 5 (𝜑𝑈 ≤ (𝐹𝐵))
3514ralrimiva 2944 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
36 fveq2 6084 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
3736eleq1d 2667 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3837rspcv 3273 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
3925, 35, 38sylc 62 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
406, 39leloed 10027 . . . . 5 (𝜑 → (𝑈 ≤ (𝐹𝐵) ↔ (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵))))
4134, 40mpbid 220 . . . 4 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4241adantr 479 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → (𝑈 < (𝐹𝐵) ∨ 𝑈 = (𝐹𝐵)))
4320, 32, 42mpjaodan 822 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) < 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
44 lbicc2 12111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4521, 22, 23, 44syl3anc 1317 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
46 fveq2 6084 . . . . 5 (𝑐 = 𝐴 → (𝐹𝑐) = (𝐹𝐴))
4746eqeq1d 2607 . . . 4 (𝑐 = 𝐴 → ((𝐹𝑐) = 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) = 𝑈))
4847rspcev 3277 . . 3 ((𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
4945, 48sylan 486 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐴) = 𝑈) → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
5033simpld 473 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
51 fveq2 6084 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
5251eleq1d 2667 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5352rspcv 3273 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
5445, 35, 53sylc 62 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
5554, 6leloed 10027 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≤ 𝑈 ↔ ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈)))
5650, 55mpbid 220 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈 ∨ (𝐹𝐴) = 𝑈))
5743, 49, 56mpjaodan 822 1 (𝜑 → ∃𝑐 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑐) = 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  wral 2891  wrex 2892  wss 3535   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  *cxr 9925   < clt 9926  cle 9927  (,)cioo 11998  [,]cicc 12001  cnccncf 22414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-iun 4447  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-er 7602  df-map 7719  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-sup 8204  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-n0 11136  df-z 11207  df-uz 11516  df-rp 11661  df-ioo 12002  df-icc 12005  df-seq 12615  df-exp 12674  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-cncf 22416
This theorem is referenced by:  ivthicc  22947  volivth  23094
  Copyright terms: Public domain W3C validator