MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthlem1 23266
Description: Lemma for ivth 23269. The set 𝑆 of all 𝑥 values with (𝐹𝑥) less than 𝑈 is lower bounded by 𝐴 and upper bounded by 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivth.10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
Assertion
Ref Expression
ivthlem1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐷,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ivthlem1
StepHypRef Expression
1 ivth.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
21rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
3 ivth.2 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43rexrd 10127 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
5 ivth.4 . . . . 5 (𝜑𝐴 < 𝐵)
61, 3, 5ltled 10223 . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
7 lbicc2 12326 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82, 4, 6, 7syl3anc 1366 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9 ivth.8 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
109ralrimiva 2995 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
11 fveq2 6229 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐴))
1211eleq1d 2715 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
1312rspcv 3336 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐴) ∈ ℝ))
148, 10, 13sylc 65 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) ∈ ℝ)
15 ivth.3 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
1716simpld 474 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
1814, 15, 17ltled 10223 . . 3 (𝜑 → (𝐹𝐴) ≤ 𝑈)
1911breq1d 4695 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝐴) ≤ 𝑈))
20 ivth.10 . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
2119, 20elrab2 3399 . . 3 (𝐴𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝐴) ≤ 𝑈))
228, 18, 21sylanbrc 699 . 2 (𝜑𝐴𝑆)
23 ssrab2 3720 . . . . . 6 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2420, 23eqsstri 3668 . . . . 5 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
2524sseli 3632 . . . 4 (𝑧𝑆𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 iccleub 12267 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧𝐵)
27263expia 1286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧𝐵))
282, 4, 27syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧𝐵))
2925, 28syl5 34 . . 3 (𝜑 → (𝑧𝑆𝑧𝐵))
3029ralrimiv 2994 . 2 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵)
3122, 30jca 553 1 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  {crab 2945  wss 3607   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113  [,]cicc 12216  cnccncf 22726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-icc 12220
This theorem is referenced by:  ivthlem2  23267  ivthlem3  23268
  Copyright terms: Public domain W3C validator