Theorem ivthlem1 24051

Description: Lemma for ivth 24054. The set 𝑆 of all 𝑥 values with (𝐹‘𝑥) less than 𝑈 is lower bounded by 𝐴 and upper bounded by 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ivth.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
ivth.5	⊢ (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐷–cn→ℂ))
ivth.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
ivth.10	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}

Assertion

Ref	Expression
ivthlem1	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑧,𝐵   𝑥,𝐷,𝑧   𝑥,𝐹,𝑧   𝜑,𝑥,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝑆,𝑧   𝑥,𝑈,𝑧

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑧)

Proof of Theorem ivthlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ivth.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	rexrd 10690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		ivth.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
4	3	rexrd 10690	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		ivth.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵)
6	1, 3, 5	ltled 10787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
7		lbicc2 12851	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1367	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9		fveq2 6669	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝐴))
10	9	eleq1d 2897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ))
11		ivth.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
12	11	ralrimiva 3182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
13	10, 12, 8	rspcdva 3624	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ∈ ℝ)
14		ivth.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
15		ivth.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) < 𝑈 ∧ 𝑈 < (𝐹‘𝐵)))
16	15	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) < 𝑈)
17	13, 14, 16	ltled 10787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈)
18	9	breq1d 5075	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
19		ivth.10	. . . 4 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹‘𝑥) ≤ 𝑈}
20	18, 19	elrab2 3682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑆 ↔ (𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹‘𝐴) ≤ 𝑈))
21	8, 17, 20	sylanbrc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑆)
22	19	ssrab3 4056	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
23	22	sseli 3962	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵))
24		iccleub 12791	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝑧 ≤ 𝐵)
25	24	3expia 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
26	2, 4, 25	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑧 ≤ 𝐵))
27	23, 26	syl5 34	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ≤ 𝐵))
28	27	ralrimiv 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵)
29	21, 28	jca 514	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 𝑧 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∀wral 3138  {crab 3142   ⊆ wss 3935   class class class wbr 5065  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  ℝcr 10535  ℝ^*cxr 10673   < clt 10674   ≤ cle 10675  [,]cicc 12740  –cn→ccncf 23483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-po 5473  df-so 5474  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-icc 12744

This theorem is referenced by:  ivthlem2  24052  ivthlem3  24053