MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ivthlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ivthlem2 22945
Description: Lemma for ivth 22947. Show that the supremum of 𝑆 cannot be less than 𝑈. If it was, continuity of 𝐹 implies that there are points just above the supremum that are also less than 𝑈, a contradiction. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivth.10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
ivth.11 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ivthlem2 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ivthlem2
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.7 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
21adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
3 ivth.5 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
4 ivth.11 . . . . . . . 8 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
5 ivth.10 . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
6 ssrab2 3649 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
75, 6eqsstri 3597 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
8 ivth.1 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 ivth.2 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
10 iccssre 12082 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
118, 9, 10syl2anc 690 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
127, 11syl5ss 3578 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
13 ivth.3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
14 ivth.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 < 𝐵)
15 ivth.8 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
16 ivth.9 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
178, 9, 13, 14, 3, 1, 15, 16, 5ivthlem1 22944 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
1817simpld 473 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑆)
19 ne0i 3879 . . . . . . . . . . 11 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
2117simprd 477 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵)
22 breq2 4581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥𝑧𝐵))
2322ralbidv 2968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧𝑆 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
2423rspcev 3281 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
259, 21, 24syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
2612, 20, 253jca 1234 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
27 suprcl 10832 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
294, 28syl5eqel 2691 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
30 suprub 10833 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3126, 18, 30syl2anc 690 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3231, 4syl6breqr 4619 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝐶)
33 suprleub 10836 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3426, 9, 33syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3521, 34mpbird 245 . . . . . . . 8 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
364, 35syl5eqbr 4612 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝐵)
37 elicc2 12065 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
388, 9, 37syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
3929, 32, 36, 38mpbir3and 1237 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
403, 39sseldd 3568 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐷)
4140adantr 479 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → 𝐶𝐷)
4215ralrimiva 2948 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
43 fveq2 6088 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
4443eleq1d 2671 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4544rspcv 3277 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4639, 42, 45sylc 62 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
47 difrp 11700 . . . . . 6 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹𝐶) < 𝑈 ↔ (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ+))
4846, 13, 47syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < 𝑈 ↔ (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ+))
4948biimpa 499 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ+)
50 cncfi 22436 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝐶𝐷 ∧ (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))))
512, 41, 49, 50syl3anc 1317 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))))
52 ssralv 3628 . . . . . . 7 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)))))
533, 52syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)))))
5453ad2antrr 757 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)))))
559ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
5629ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
57 rphalfcl 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5857adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ+)
5958rpred 11704 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 2) ∈ ℝ)
6056, 59readdcld 9925 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 + (𝑧 / 2)) ∈ ℝ)
6155, 60ifcld 4080 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ ℝ)
628ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐴 ∈ ℝ)
6332ad2antrr 757 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐴𝐶)
6416simprd 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐵))
658rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
669rexrd 9945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
678, 9, 14ltled 10036 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴𝐵)
68 ubicc2 12116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6965, 66, 67, 68syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵))
70 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝐵 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐵))
7170eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝐵 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
7271rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐵) ∈ ℝ))
7369, 42, 72sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹𝐵) ∈ ℝ)
74 lttr 9965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝐶) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐵) ∈ ℝ) → (((𝐹𝐶) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
7546, 13, 73, 74syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝐹𝐶) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)) → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
7664, 75mpan2d 705 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < 𝑈 → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
7776imp 443 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))
7946ltnrd 10022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶))
80 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 = 𝐶 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐶))
8180breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
8281notbid 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 = 𝐶 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
8379, 82syl5ibrcom 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
8483necon2ad 2796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐵𝐶))
8584, 36jctild 563 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
8629, 9ltlend 10033 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
8785, 86sylibrd 247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
8887ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
8978, 88mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 < 𝐵)
9056, 58ltaddrpd 11737 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 < (𝐶 + (𝑧 / 2)))
91 breq2 4581 . . . . . . . . . . . 12 (𝐵 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (𝐶 < 𝐵𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2)))))
92 breq2 4581 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 + (𝑧 / 2)) = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (𝐶 < (𝐶 + (𝑧 / 2)) ↔ 𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2)))))
9391, 92ifboth 4073 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 < 𝐵𝐶 < (𝐶 + (𝑧 / 2))) → 𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))
9489, 90, 93syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))
9556, 61, 94ltled 10036 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ≤ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))
9662, 56, 61, 63, 95letrd 10045 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐴 ≤ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))
97 min1 11853 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + (𝑧 / 2)) ∈ ℝ) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ 𝐵)
9855, 60, 97syl2anc 690 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ 𝐵)
99 elicc2 12065 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∧ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ 𝐵)))
1008, 9, 99syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∧ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ 𝐵)))
101100ad2antrr 757 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∧ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ 𝐵)))
10261, 96, 98, 101mpbir3and 1237 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ (𝐴[,]𝐵))
10356, 61, 95abssubge0d 13964 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)) = (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶))
104 rpre 11671 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
105104adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
10656, 105readdcld 9925 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 + 𝑧) ∈ ℝ)
107 min2 11854 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 + (𝑧 / 2)) ∈ ℝ) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)))
10855, 60, 107syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)))
109 rphalflt 11692 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 / 2) < 𝑧)
110109adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑧 / 2) < 𝑧)
11159, 105, 56, 110ltadd2dd 10047 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶 + (𝑧 / 2)) < (𝐶 + 𝑧))
11261, 60, 106, 108, 111lelttrd 10046 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) < (𝐶 + 𝑧))
11361, 56, 105ltsubadd2d 10474 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶) < 𝑧 ↔ if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) < (𝐶 + 𝑧)))
114112, 113mpbird 245 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶) < 𝑧)
115103, 114eqbrtrd 4599 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)) < 𝑧)
116 oveq1 6534 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (𝑦𝐶) = (if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶))
117116fveq2d 6092 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)))
118117breq1d 4587 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 ↔ (abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)) < 𝑧))
119 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑦 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (𝐶 < 𝑦𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2)))))
120118, 119anbi12d 742 . . . . . . . 8 (𝑦 = if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦) ↔ ((abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)) < 𝑧𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))))
121120rspcev 3281 . . . . . . 7 ((if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))) − 𝐶)) < 𝑧𝐶 < if(𝐵 ≤ (𝐶 + (𝑧 / 2)), 𝐵, (𝐶 + (𝑧 / 2))))) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦))
122102, 115, 94, 121syl12anc 1315 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦))
123 r19.29 3053 . . . . . . 7 ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)))
124 pm3.45 874 . . . . . . . . . 10 (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∧ 𝐶 < 𝑦)))
125124imp 443 . . . . . . . . 9 ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∧ 𝐶 < 𝑦))
126 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝐶 < 𝑦)
127 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
128 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝜑)
129128, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
130 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
131130eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
132131rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
133127, 129, 132sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
134128, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
135128, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝑈 ∈ ℝ)
136135, 134resubcld 10309 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∈ ℝ)
137133, 134, 136absdifltd 13966 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) ↔ (((𝐹𝐶) − (𝑈 − (𝐹𝐶))) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶))))))
138 ltle 9977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹𝑦) ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑦) < 𝑈 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
139133, 135, 138syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((𝐹𝑦) < 𝑈 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
140134recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
141135recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝑈 ∈ ℂ)
142140, 141pncan3d 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶))) = 𝑈)
143142breq2d 4589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶))) ↔ (𝐹𝑦) < 𝑈))
144130breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
145144, 5elrab2 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
146145baib 941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑦𝑆 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
147146ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝑦𝑆 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
148139, 143, 1473imtr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶))) → 𝑦𝑆))
149 suprub 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
150149, 4syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦𝐶)
151150ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) → (𝑦𝑆𝑦𝐶))
152128, 26, 1513syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝑦𝑆𝑦𝐶))
153128, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
154153, 127sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
155128, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ)
156154, 155lenltd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝑦𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝑦))
157152, 156sylibd 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → (𝑦𝑆 → ¬ 𝐶 < 𝑦))
158148, 157syld 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ¬ 𝐶 < 𝑦))
159158adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((((𝐹𝐶) − (𝑈 − (𝐹𝐶))) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + (𝑈 − (𝐹𝐶)))) → ¬ 𝐶 < 𝑦))
160137, 159sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) → ¬ 𝐶 < 𝑦))
161126, 160mt2d 129 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ¬ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)))
162161pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝐶 < 𝑦)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
163162expr 640 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐶 < 𝑦 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)))
164163com23 83 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) → (𝐶 < 𝑦 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)))
165164impd 445 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶)) ∧ 𝐶 < 𝑦) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
166125, 165syl5 33 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
167166rexlimdva 3012 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
168123, 167syl5 33 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝐶 < 𝑦)) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
169122, 168mpan2d 705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
17054, 169syld 45 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
171170rexlimdva 3012 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < (𝑈 − (𝐹𝐶))) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈))
17251, 171mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝐶) < 𝑈) → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
173172pm2.01da 456 1 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  wss 3539  c0 3873  ifcif 4035   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117   / cdiv 10533  2c2 10917  +crp 11664  [,]cicc 12005  abscabs 13768  cnccncf 22418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-icc 12009  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-cncf 22420
This theorem is referenced by:  ivthlem3  22946
  Copyright terms: Public domain W3C validator