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Theorem ivthlem3 22946
Description: Lemma for ivth 22947, the intermediate value theorem. Show that (𝐹𝐶) cannot be greater than 𝑈, and so establish the existence of a root of the function. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ivth.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ivth.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ivth.3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
ivth.4 (𝜑𝐴 < 𝐵)
ivth.5 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
ivth.7 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
ivth.8 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
ivth.9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
ivth.10 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
ivth.11 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
ivthlem3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝜑,𝑥   𝑥,𝐴   𝑥,𝐶   𝑥,𝑆   𝑥,𝑈

Proof of Theorem ivthlem3
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ivth.11 . . . 4 𝐶 = sup(𝑆, ℝ, < )
2 ivth.10 . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈}
3 ssrab2 3649 . . . . . . . 8 {𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∣ (𝐹𝑥) ≤ 𝑈} ⊆ (𝐴[,]𝐵)
42, 3eqsstri 3597 . . . . . . 7 𝑆 ⊆ (𝐴[,]𝐵)
5 ivth.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
6 ivth.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 iccssre 12082 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
85, 6, 7syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
94, 8syl5ss 3578 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
10 ivth.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
11 ivth.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < 𝐵)
12 ivth.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷)
13 ivth.7 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
14 ivth.8 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
15 ivth.9 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < 𝑈𝑈 < (𝐹𝐵)))
165, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2ivthlem1 22944 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
1716simpld 473 . . . . . . 7 (𝜑𝐴𝑆)
18 ne0i 3879 . . . . . . 7 (𝐴𝑆𝑆 ≠ ∅)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑆 ≠ ∅)
2016simprd 477 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵)
21 breq2 4581 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧𝑥𝑧𝐵))
2221ralbidv 2968 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧𝑆 𝑧𝑥 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
2322rspcev 3281 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
246, 20, 23syl2anc 690 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥)
259, 19, 243jca 1234 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
26 suprcl 10832 . . . . 5 ((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
2725, 26syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ∈ ℝ)
281, 27syl5eqel 2691 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2915simpld 473 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐴) < 𝑈)
305, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 2, 1ivthlem2 22945 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < 𝑈)
3113adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ))
32 suprub 10833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐴𝑆) → 𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3325, 17, 32syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
3433, 1syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴𝐶)
35 suprleub 10836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3625, 6, 35syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵 ↔ ∀𝑧𝑆 𝑧𝐵))
3720, 36mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → sup(𝑆, ℝ, < ) ≤ 𝐵)
381, 37syl5eqbr 4612 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶𝐵)
39 elicc2 12065 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
405, 6, 39syl2anc 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
4128, 34, 38, 40mpbir3and 1237 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4212, 41sseldd 3568 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶𝐷)
4342adantr 479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → 𝐶𝐷)
4414ralrimiva 2948 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
45 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝐶 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝐶))
4645eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝐶 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4746rspcv 3277 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝐶) ∈ ℝ))
4841, 44, 47sylc 62 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
49 difrp 11700 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℝ) → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
5010, 48, 49syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑈 < (𝐹𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+))
5150biimpa 499 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+)
52 cncfi 22436 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐷cn→ℂ) ∧ 𝐶𝐷 ∧ ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ+) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
5331, 43, 51, 52syl3anc 1317 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)))
54 ssralv 3628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴[,]𝐵) ⊆ 𝐷 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5512, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5655ad2antrr 757 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈))))
5728ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
58 ltsubrp 11698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
5957, 58sylancom 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < 𝐶)
6059, 1syl6breq 4618 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ))
6125ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
62 rpre 11671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
6362adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ)
6457, 63resubcld 10309 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝐶𝑧) ∈ ℝ)
65 suprlub 10834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ (𝐶𝑧) ∈ ℝ) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
6661, 64, 65syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝐶𝑧) < sup(𝑆, ℝ, < ) ↔ ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦))
6760, 66mpbid 220 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦)
684sseli 3563 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝑆𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
6968ad2antrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
70 simplll 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝜑)
7170, 8syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
7271, 69sseldd 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℝ)
7370, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝐶 ∈ ℝ)
7470, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥))
75 simprl 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝑆)
76 suprub 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑆 ⊆ ℝ ∧ 𝑆 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑧𝑆 𝑧𝑥) ∧ 𝑦𝑆) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7774, 75, 76syl2anc 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦 ≤ sup(𝑆, ℝ, < ))
7877, 1syl6breqr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑦𝐶)
7972, 73, 78abssuble0d 13965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) = (𝐶𝑦))
8063adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → 𝑧 ∈ ℝ)
81 simprr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑧) < 𝑦)
8273, 80, 72, 81ltsub23d 10481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝐶𝑦) < 𝑧)
8379, 82eqbrtrd 4599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧)
8469, 83, 75jca32 555 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
8584ex 448 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑦𝑆 ∧ (𝐶𝑧) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))))
8685reximdv2 2996 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝑆 (𝐶𝑧) < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
8767, 86mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆))
88 r19.29 3053 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)))
89 pm3.45 874 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆)))
9089imp 443 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆))
9168ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
9244ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
93 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
9493eleq1d 2671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
9594rspcv 3277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (∀𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵)(𝐹𝑥) ∈ ℝ → (𝐹𝑦) ∈ ℝ))
9691, 92, 95sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ∈ ℝ)
9748ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℝ)
9810ad2antrr 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℝ)
9997, 98resubcld 10309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∈ ℝ)
10096, 97, 99absdifltd 13966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ↔ (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈)))))
10197recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
10298recnd 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → 𝑈 ∈ ℂ)
103101, 102nncand 10248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) = 𝑈)
104103breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ↔ 𝑈 < (𝐹𝑦)))
10593breq1d 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐹𝑥) ≤ 𝑈 ↔ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
106105, 2elrab2 3332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ (𝐹𝑦) ≤ 𝑈))
107106simprbi 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦𝑆 → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
108107ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝐹𝑦) ≤ 𝑈)
10996, 98lenltd 10034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((𝐹𝑦) ≤ 𝑈 ↔ ¬ 𝑈 < (𝐹𝑦)))
110108, 109mpbid 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝑦))
111110pm2.21d 116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (𝑈 < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
112104, 111sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → (((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
113112adantrd 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((((𝐹𝐶) − ((𝐹𝐶) − 𝑈)) < (𝐹𝑦) ∧ (𝐹𝑦) < ((𝐹𝐶) + ((𝐹𝐶) − 𝑈))) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
114100, 113sylbid 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝑆)) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
115114expr 640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑆 → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
116115com23 83 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) → (𝑦𝑆 → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
117116impd 445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
118117adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (((abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈) ∧ 𝑦𝑆) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
11990, 118syl5 33 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → ((((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
120119rexlimdva 3012 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)(((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12188, 120syl5 33 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) ∧ ∃𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧𝑦𝑆)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12287, 121mpan2d 705 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵)((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12356, 122syld 45 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
124123rexlimdva 3012 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → (∃𝑧 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < ((𝐹𝐶) − 𝑈)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶)))
12553, 124mpd 15 . . . . . . 7 ((𝜑𝑈 < (𝐹𝐶)) → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
126125pm2.01da 456 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))
12748, 10lttri3d 10028 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) = 𝑈 ↔ (¬ (𝐹𝐶) < 𝑈 ∧ ¬ 𝑈 < (𝐹𝐶))))
12830, 126, 127mpbir2and 958 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) = 𝑈)
12929, 128breqtrrd 4605 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶))
13048ltnrd 10022 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶))
131 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝐶 = 𝐴 → (𝐹𝐶) = (𝐹𝐴))
132131breq1d 4587 . . . . . . . . 9 (𝐶 = 𝐴 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
133132notbid 306 . . . . . . . 8 (𝐶 = 𝐴 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶) ↔ ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
134130, 133syl5ibcom 233 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 = 𝐴 → ¬ (𝐹𝐴) < (𝐹𝐶)))
135134necon2ad 2796 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐶𝐴))
136135, 34jctild 563 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
1375, 28ltlend 10033 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐴)))
138136, 137sylibrd 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐴) < (𝐹𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
139129, 138mpd 15 . . 3 (𝜑𝐴 < 𝐶)
14015simprd 477 . . . . 5 (𝜑𝑈 < (𝐹𝐵))
141128, 140eqbrtrd 4599 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵))
142 fveq2 6088 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = 𝐶 → (𝐹𝐵) = (𝐹𝐶))
143142breq2d 4589 . . . . . . . . 9 (𝐵 = 𝐶 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
144143notbid 306 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝐶 → (¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) ↔ ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐶)))
145130, 144syl5ibrcom 235 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 = 𝐶 → ¬ (𝐹𝐶) < (𝐹𝐵)))
146145necon2ad 2796 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐵𝐶))
147146, 38jctild 563 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
14828, 6ltlend 10033 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 < 𝐵 ↔ (𝐶𝐵𝐵𝐶)))
149147, 148sylibrd 247 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝐶) < (𝐹𝐵) → 𝐶 < 𝐵))
150141, 149mpd 15 . . 3 (𝜑𝐶 < 𝐵)
1515rexrd 9945 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
1526rexrd 9945 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
153 elioo2 12043 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
154151, 152, 153syl2anc 690 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐶𝐶 < 𝐵)))
15528, 139, 150, 154mpbir3and 1237 . 2 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
156155, 128jca 552 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ (𝐹𝐶) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  {crab 2899  wss 3539  c0 3873   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  supcsup 8206  cc 9790  cr 9791   + caddc 9795  *cxr 9929   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  +crp 11664  (,)cioo 12002  [,]cicc 12005  abscabs 13768  cnccncf 22418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-sup 8208  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-ioo 12006  df-icc 12009  df-seq 12619  df-exp 12678  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-cncf 22420
This theorem is referenced by:  ivth  22947
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