MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixi 10405
Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 10020 . 2 -1 = (0 − 1)
2 ax-i2m1 9759 . . 3 ((i · i) + 1) = 0
3 0cn 9787 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 ax-1cn 9749 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 ax-icn 9750 . . . . 5 i ∈ ℂ
65, 5mulcli 9800 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
73, 4, 6subadd2i 10120 . . 3 ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
82, 7mpbir 219 . 2 (0 − 1) = (i · i)
91, 8eqtr2i 2537 1 (i · i) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  (class class class)co 6426  0cc0 9691  1c1 9692  ici 9693   + caddc 9694   · cmul 9696  cmin 10017  -cneg 10018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-op 4035  df-uni 4271  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-ltxr 9834  df-sub 10019  df-neg 10020
This theorem is referenced by:  recextlem1  10406  inelr  10765  cju  10771  irec  12694  i2  12695  crre  13561  remim  13564  remullem  13575  sqrtneglem  13714  absi  13733  sinhval  14592  coshval  14593  cosadd  14603  absefib  14636  efieq1re  14637  demoivreALT  14639  itgmulc2  23281  tanarg  24056  atandm2  24291  efiasin  24302  asinsinlem  24305  asinsin  24306  asin1  24308  efiatan  24326  atanlogsublem  24329  efiatan2  24331  2efiatan  24332  tanatan  24333  atantan  24337  atans2  24345  dvatan  24349  log2cnv  24358  nvpi  26671  ipasslem10  26856  polid2i  27186  lnophmlem2  28048  iexpire  30716  itgmulc2nc  32538  dvasin  32556
  Copyright terms: Public domain W3C validator