MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixi 10641
Description: i times itself is minus 1. (Contributed by NM, 6-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixi (i · i) = -1

Proof of Theorem ixi
StepHypRef Expression
1 df-neg 10254 . 2 -1 = (0 − 1)
2 ax-i2m1 9989 . . 3 ((i · i) + 1) = 0
3 0cn 10017 . . . 4 0 ∈ ℂ
4 ax-1cn 9979 . . . 4 1 ∈ ℂ
5 ax-icn 9980 . . . . 5 i ∈ ℂ
65, 5mulcli 10030 . . . 4 (i · i) ∈ ℂ
73, 4, 6subadd2i 10354 . . 3 ((0 − 1) = (i · i) ↔ ((i · i) + 1) = 0)
82, 7mpbir 221 . 2 (0 − 1) = (i · i)
91, 8eqtr2i 2643 1 (i · i) = -1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1481  (class class class)co 6635  0cc0 9921  1c1 9922  ici 9923   + caddc 9924   · cmul 9926  cmin 10251  -cneg 10252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-po 5025  df-so 5026  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-ltxr 10064  df-sub 10253  df-neg 10254
This theorem is referenced by:  recextlem1  10642  inelr  10995  cju  11001  irec  12947  i2  12948  crre  13835  remim  13838  remullem  13849  sqrtneglem  13988  absi  14007  sinhval  14865  coshval  14866  cosadd  14876  absefib  14909  efieq1re  14910  demoivreALT  14912  ncvspi  22937  cphipval2  23021  itgmulc2  23581  tanarg  24346  atandm2  24585  efiasin  24596  asinsinlem  24599  asinsin  24600  asin1  24602  efiatan  24620  atanlogsublem  24623  efiatan2  24625  2efiatan  24626  tanatan  24627  atantan  24631  atans2  24639  dvatan  24643  log2cnv  24652  nvpi  27492  ipasslem10  27664  polid2i  27984  lnophmlem2  28846  iexpire  31596  itgmulc2nc  33449  dvasin  33467
  Copyright terms: Public domain W3C validator