MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpexg 8474
Description: The existence of an infinite Cartesian product. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. Remark in Enderton p. 54. (Contributed by NM, 28-Sep-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ixpexg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpexg
StepHypRef Expression
1 uniixp 8473 . . . 4 X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵)
2 iunexg 7653 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
3 xpexg 7462 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
42, 3syldan 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V)
5 ssexg 5218 . . . 4 (( X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝑥𝐴 𝐵) ∈ V) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
61, 4, 5sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
7 uniexb 7475 . . 3 (X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V ↔ X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
86, 7sylibr 235 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
9 ixpprc 8471 . . . 4 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 = ∅)
10 0ex 5202 . . . 4 ∅ ∈ V
119, 10syl6eqel 2918 . . 3 𝐴 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
1211adantr 481 . 2 ((¬ 𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
138, 12pm2.61ian 808 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  wcel 2105  wral 3135  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288   cuni 4830   ciun 4910   × cxp 5546  Xcixp 8449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ixp 8450
This theorem is referenced by:  konigthlem  9978  prdsbasex  16712  isfunc  17122  isnat  17205  natffn  17207  dmdprd  19049  dprdval  19054  elpt  22108  ptbasin2  22114  ptbasfi  22117  ptrest  34772  upixp  34885  hspval  42768  hspmbl  42788  vonioolem2  42840  vonicclem2  42843
  Copyright terms: Public domain W3C validator