MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ixpsnbasval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ixpsnbasval 19203
Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)
Assertion
Ref Expression
ixpsnbasval ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval
StepHypRef Expression
1 ixpsnval 7908 . . 3 (𝑋𝑊X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
21adantl 482 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3 csbfv2g 6230 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4 csbfv2g 6230 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥))
5 csbvarg 4001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥𝑥 = 𝑋)
65fveq2d 6193 . . . . . . . . . . 11 (𝑋𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋 / 𝑥𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
74, 6eqtrd 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
87fveq2d 6193 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑊 → (Base‘𝑋 / 𝑥(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
93, 8eqtrd 2655 . . . . . . . 8 (𝑋𝑊𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
109adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11 fvexd 6201 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
1211anim1i 592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝑋𝑊))
1312ancomd 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
14 xpsng 6403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
1615fveq1d 6191 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
17 fvsng 6444 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1813, 17syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
1916, 18eqtrd 2655 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
2019fveq2d 6193 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
2110, 20eqtrd 2655 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
22 rlmbas 19189 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
2321, 22syl6eqr 2673 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
2423eleq2d 2686 . . . 4 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
2524anbi2d 740 . . 3 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
2625abbidv 2740 . 2 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ 𝑋 / 𝑥(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
272, 26eqtrd 2655 1 ((𝑅𝑉𝑋𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wcel 1989  {cab 2607  Vcvv 3198  csb 3531  {csn 4175  cop 4181   × cxp 5110   Fn wfn 5881  cfv 5886  Xcixp 7905  Basecbs 15851  ringLModcrglmod 19163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946  ax-cnex 9989  ax-resscn 9990  ax-1cn 9991  ax-icn 9992  ax-addcl 9993  ax-addrcl 9994  ax-mulcl 9995  ax-mulrcl 9996  ax-mulcom 9997  ax-addass 9998  ax-mulass 9999  ax-distr 10000  ax-i2m1 10001  ax-1ne0 10002  ax-1rid 10003  ax-rnegex 10004  ax-rrecex 10005  ax-cnre 10006  ax-pre-lttri 10007  ax-pre-lttrn 10008  ax-pre-ltadd 10009  ax-pre-mulgt0 10010
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-fal 1488  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-nel 2897  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-lim 5726  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-mpt2 6652  df-om 7063  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-rdg 7503  df-er 7739  df-ixp 7906  df-en 7953  df-dom 7954  df-sdom 7955  df-pnf 10073  df-mnf 10074  df-xr 10075  df-ltxr 10076  df-le 10077  df-sub 10265  df-neg 10266  df-nn 11018  df-2 11076  df-3 11077  df-4 11078  df-5 11079  df-6 11080  df-7 11081  df-8 11082  df-ndx 15854  df-slot 15855  df-base 15857  df-sets 15858  df-sca 15951  df-vsca 15952  df-ip 15953  df-sra 19166  df-rgmod 19167
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator