Theorem ixpsnbasval 19976

Description: The value of an infinite Cartesian product of the base of a left module over a ring with a singleton. (Contributed by AV, 3-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ixpsnbasval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Distinct variable groups:   𝑅,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉   𝑓,𝑊   𝑓,𝑋,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem ixpsnbasval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ixpsnval 8458	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
2	1	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))})
3		csbfv2g 6708	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))
4		csbfv2g 6708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥))
5		csbvarg 4382	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥 = 𝑋)
6	5	fveq2d 6668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘⦋𝑋 / 𝑥⦌𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
7	4, 6	eqtrd 2856	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥) = (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋))
8	7	fveq2d 6668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → (Base‘⦋𝑋 / 𝑥⦌(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
9	3, 8	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑊 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
10	9	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)))
11		fvexd 6679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑅) ∈ V)
12	11	anim1ci 617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V))
13		xpsng 6895	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)}) = {⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩})
15	14	fveq1d 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋))
16		fvsng 6936	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑊 ∧ (ringLMod‘𝑅) ∈ V) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
17	12, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ({⟨𝑋, (ringLMod‘𝑅)⟩}‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
18	15, 17	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋) = (ringLMod‘𝑅))
19	18	fveq2d 6668	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑋)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
20	10, 19	eqtrd 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘(ringLMod‘𝑅)))
21		rlmbas 19961	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(ringLMod‘𝑅))
22	20, 21	syl6eqr 2874	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = (Base‘𝑅))
23	22	eleq2d 2898	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)))
24	23	anbi2d 630	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → ((𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥))) ↔ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))))
25	24	abbidv 2885	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ ⦋𝑋 / 𝑥⦌(Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)))} = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})
26	2, 25	eqtrd 2856	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑊) → X𝑥 ∈ {𝑋} (Base‘(({𝑋} × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑥)) = {𝑓 ∣ (𝑓 Fn {𝑋} ∧ (𝑓‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {cab 2799  Vcvv 3494  ⦋csb 3882  {csn 4560  ⟨cop 4566   × cxp 5547   Fn wfn 6344  ‘cfv 6349  Xcixp 8455  Basecbs 16477  ringLModcrglmod 19935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-sra 19938  df-rgmod 19939

This theorem is referenced by: (None)