Theorem ixxdisj 12756

Description: Split an interval into disjoint pieces. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
ixxun.2	⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
ixxun.3	⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))

Assertion

Ref	Expression
ixxdisj	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐴   𝑤,𝐶,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑂   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝑃   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑥,𝑇,𝑦,𝑧   𝑥,𝑈,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑅(𝑤)   𝑆(𝑤)   𝑇(𝑤)   𝑈(𝑤)   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxdisj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 4171	. . . 4 ⊢ (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ↔ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
2		ixx.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
3	2	elixx1 12750	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
4	3	3adant3 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵)))
5	4	biimpa 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴𝑅𝑤 ∧ 𝑤𝑆𝐵))
6	5	simp3d 1140	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵)) → 𝑤𝑆𝐵)
7	6	adantrr 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → 𝑤𝑆𝐵)
8		ixxun.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑃 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑇𝑧 ∧ 𝑧𝑈𝑦)})
9	8	elixx1 12750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
10	9	3adant1 1126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶) ↔ (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶)))
11	10	biimpa 479	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐵𝑇𝑤 ∧ 𝑤𝑈𝐶))
12	11	simp2d 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵𝑇𝑤)
13		simpl2 1188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
14	11	simp1d 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15		ixxun.3	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
16	13, 14, 15	syl2anc 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → (𝐵𝑇𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝑆𝐵))
17	12, 16	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → ¬ 𝑤𝑆𝐵)
18	17	adantrl 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶))) → ¬ 𝑤𝑆𝐵)
19	7, 18	pm2.65da 815	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ¬ (𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)))
20	19	pm2.21d 121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝑤 ∈ (𝐴𝑂𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ∅))
21	1, 20	syl5bi 244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝑤 ∈ ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) → 𝑤 ∈ ∅))
22	21	ssrdv 3975	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ⊆ ∅)
23		ss0 4354	. 2 ⊢ (((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) ⊆ ∅ → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)
24	22, 23	syl 17	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑂𝐵) ∩ (𝐵𝑃𝐶)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  {crab 3144   ∩ cin 3937   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293   class class class wbr 5068  (class class class)co 7158   ∈ cmpo 7160  ℝ^*cxr 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-xr 10681

This theorem is referenced by:  ioodisj  12871  lecldbas  21829  icopnfcld  23378  iocmnfcld  23379  ioombl  24168  ismbf3d  24257  joiniooico  30499  asindmre  34979  dvasin  34980