Theorem ixxex 12743

Description: The set of intervals of extended reals exists. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ixx.1	⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})

Assertion

Ref	Expression
ixxex	⊢ 𝑂 ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑅   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem ixxex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrex 12380	. . . 4 ⊢ ℝ* ∈ V
2	1, 1	xpex 7470	. . 3 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
3	1	pwex 5273	. . 3 ⊢ 𝒫 ℝ* ∈ V
4	2, 3	xpex 7470	. 2 ⊢ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*) ∈ V
5		ixx.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑅𝑧 ∧ 𝑧𝑆𝑦)})
6	5	ixxf 12742	. . 3 ⊢ 𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
7		fssxp 6528	. . 3 ⊢ (𝑂:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*))
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ 𝑂 ⊆ ((ℝ* × ℝ*) × 𝒫 ℝ*)
9	4, 8	ssexi 5218	1 ⊢ 𝑂 ∈ V

Syntax hints:   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  {crab 3142  Vcvv 3494   ⊆ wss 3935  𝒫 cpw 4538   class class class wbr 5058   × cxp 5547  ⟶wf 6345   ∈ cmpo 7152  ℝ^*cxr 10668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-xr 10673

This theorem is referenced by:  iooex  12755  isbasisrelowl  34633  relowlpssretop  34639