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Theorem jm2.17a 36344
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6531 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑0))
2 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
41, 3breq12d 4586 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
54imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6 oveq2 6531 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏))
7 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
87oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
96, 8breq12d 4586 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
109imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11 oveq2 6531 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)))
12 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
1312oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1411, 13breq12d 4586 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
1514imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16 oveq2 6531 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁))
17 oveq1 6530 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
1817oveq2d 6539 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
1916, 18breq12d 4586 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
2019imbi2d 328 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21 1le1 10500 . . . . 5 1 ≤ 1
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 1)
23 2cn 10934 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
24 eluzelcn 11527 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 mulcl 9872 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
2623, 24, 25sylancr 693 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 9846 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 subcl 10127 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2926, 27, 28sylancl 692 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
3029exp0d 12815 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) = 1)
31 0p1e1 10975 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 6534 . . . . 5 (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33 rmy1 36312 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3432, 33syl5eq 2651 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
3522, 30, 343brtr4d 4605 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36 2re 10933 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
37 eluzelre 11526 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3837adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39 remulcl 9873 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4036, 38, 39sylancr 693 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41 1re 9891 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 resubcl 10192 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
4340, 41, 42sylancl 692 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 11176 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
4544adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
4643, 45reexpcld 12838 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47463adant3 1073 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
49 nn0z 11229 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
5049adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
5150peano2zd 11313 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
52 frmy 36296 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
5352fovcl 6637 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
5453zred 11310 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5548, 51, 54syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5655, 43remulcld 9922 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
57563adant3 1073 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
5851peano2zd 11313 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
5952fovcl 6637 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
6059zred 11310 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
6148, 58, 60syl2anc 690 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62613adant3 1073 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63293ad2ant2 1075 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
64 simp1 1053 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
6563, 64expp1d 12822 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)))
66 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
6743, 66reexpcld 12838 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68 2nn 11028 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
69 eluz2nn 11554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
7069adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
71 nnmulcl 10886 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
7268, 70, 71sylancr 693 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
73 nnm1nn0 11177 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
74 nn0ge0 11161 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
7643, 75jca 552 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1)))
7767, 55, 763jca 1234 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))))
78 lemul1a 10722 . . . . . . . 8 ((((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
7977, 78stoic3 1691 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
8065, 79eqbrtrd 4595 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
81 nn0cn 11145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℂ)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
83 pncan 10134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
8482, 27, 83sylancl 692 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
8584oveq2d 6539 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
8652fovcl 6637 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
8786zred 11310 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8848, 50, 87syl2anc 690 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8985, 88eqeltrd 2683 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
90 remulcl 9873 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
9155, 41, 90sylancl 692 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
9240, 55remulcld 9922 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93 nn0re 11144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
9594lep1d 10800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ≤ (𝑏 + 1))
96 lermy 36339 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9748, 50, 51, 96syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9895, 97mpbid 220 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9955recnd 9920 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℂ)
10099mulid1d 9909 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
10198, 85, 1003brtr4d 4605 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1))
10289, 91, 92, 101lesub2dd 10489 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) ≤ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
10340recnd 9920 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10427a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℂ)
10599, 103, 104subdid 10332 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
10699, 103mulcomd 9913 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107106oveq1d 6538 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
108105, 107eqtrd 2639 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
109 rmyluc2 36320 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
11048, 51, 109syl2anc 690 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
111102, 108, 1103brtr4d 4605 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1121113adant3 1073 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
11347, 57, 62, 80, 112letrd 10041 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1141133exp 1255 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115114a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
1165, 10, 15, 20, 35, 115nn0ind 11300 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117116impcom 444 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1975   class class class wbr 4573  cfv 5786  (class class class)co 6523  cc 9786  cr 9787  0cc0 9788  1c1 9789   + caddc 9791   · cmul 9793  cle 9927  cmin 10113  cn 10863  2c2 10913  0cn0 11135  cz 11206  cuz 11515  cexp 12673   Yrm crmy 36282
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-rep 4689  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824  ax-un 6820  ax-inf2 8394  ax-cnex 9844  ax-resscn 9845  ax-1cn 9846  ax-icn 9847  ax-addcl 9848  ax-addrcl 9849  ax-mulcl 9850  ax-mulrcl 9851  ax-mulcom 9852  ax-addass 9853  ax-mulass 9854  ax-distr 9855  ax-i2m1 9856  ax-1ne0 9857  ax-1rid 9858  ax-rnegex 9859  ax-rrecex 9860  ax-cnre 9861  ax-pre-lttri 9862  ax-pre-lttrn 9863  ax-pre-ltadd 9864  ax-pre-mulgt0 9865  ax-pre-sup 9866  ax-addf 9867  ax-mulf 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-nel 2778  df-ral 2896  df-rex 2897  df-reu 2898  df-rmo 2899  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-csb 3495  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-pss 3551  df-nul 3870  df-if 4032  df-pw 4105  df-sn 4121  df-pr 4123  df-tp 4125  df-op 4127  df-uni 4363  df-int 4401  df-iun 4447  df-iin 4448  df-br 4574  df-opab 4634  df-mpt 4635  df-tr 4671  df-eprel 4935  df-id 4939  df-po 4945  df-so 4946  df-fr 4983  df-se 4984  df-we 4985  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-rn 5035  df-res 5036  df-ima 5037  df-pred 5579  df-ord 5625  df-on 5626  df-lim 5627  df-suc 5628  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fn 5789  df-f 5790  df-f1 5791  df-fo 5792  df-f1o 5793  df-fv 5794  df-isom 5795  df-riota 6485  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-of 6768  df-om 6931  df-1st 7032  df-2nd 7033  df-supp 7156  df-wrecs 7267  df-recs 7328  df-rdg 7366  df-1o 7420  df-2o 7421  df-oadd 7424  df-omul 7425  df-er 7602  df-map 7719  df-pm 7720  df-ixp 7768  df-en 7815  df-dom 7816  df-sdom 7817  df-fin 7818  df-fsupp 8132  df-fi 8173  df-sup 8204  df-inf 8205  df-oi 8271  df-card 8621  df-acn 8624  df-cda 8846  df-pnf 9928  df-mnf 9929  df-xr 9930  df-ltxr 9931  df-le 9932  df-sub 10115  df-neg 10116  df-div 10530  df-nn 10864  df-2 10922  df-3 10923  df-4 10924  df-5 10925  df-6 10926  df-7 10927  df-8 10928  df-9 10929  df-n0 11136  df-z 11207  df-dec 11322  df-uz 11516  df-q 11617  df-rp 11661  df-xneg 11774  df-xadd 11775  df-xmul 11776  df-ioo 12002  df-ioc 12003  df-ico 12004  df-icc 12005  df-fz 12149  df-fzo 12286  df-fl 12406  df-mod 12482  df-seq 12615  df-exp 12674  df-fac 12874  df-bc 12903  df-hash 12931  df-shft 13597  df-cj 13629  df-re 13630  df-im 13631  df-sqrt 13765  df-abs 13766  df-limsup 13992  df-clim 14009  df-rlim 14010  df-sum 14207  df-ef 14579  df-sin 14581  df-cos 14582  df-pi 14584  df-dvds 14764  df-gcd 14997  df-numer 15223  df-denom 15224  df-struct 15639  df-ndx 15640  df-slot 15641  df-base 15642  df-sets 15643  df-ress 15644  df-plusg 15723  df-mulr 15724  df-starv 15725  df-sca 15726  df-vsca 15727  df-ip 15728  df-tset 15729  df-ple 15730  df-ds 15733  df-unif 15734  df-hom 15735  df-cco 15736  df-rest 15848  df-topn 15849  df-0g 15867  df-gsum 15868  df-topgen 15869  df-pt 15870  df-prds 15873  df-xrs 15927  df-qtop 15932  df-imas 15933  df-xps 15935  df-mre 16011  df-mrc 16012  df-acs 16014  df-mgm 17007  df-sgrp 17049  df-mnd 17060  df-submnd 17101  df-mulg 17306  df-cntz 17515  df-cmn 17960  df-psmet 19501  df-xmet 19502  df-met 19503  df-bl 19504  df-mopn 19505  df-fbas 19506  df-fg 19507  df-cnfld 19510  df-top 20459  df-bases 20460  df-topon 20461  df-topsp 20462  df-cld 20571  df-ntr 20572  df-cls 20573  df-nei 20650  df-lp 20688  df-perf 20689  df-cn 20779  df-cnp 20780  df-haus 20867  df-tx 21113  df-hmeo 21306  df-fil 21398  df-fm 21490  df-flim 21491  df-flf 21492  df-xms 21872  df-ms 21873  df-tms 21874  df-cncf 22416  df-limc 23349  df-dv 23350  df-log 24020  df-squarenn 36222  df-pell1qr 36223  df-pell14qr 36224  df-pell1234qr 36225  df-pellfund 36226  df-rmx 36283  df-rmy 36284
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  36401
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