Theorem jm2.25lem1 39593

Description: Lemma for jm2.26 39597. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.25lem1	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → ((𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))))

Proof of Theorem jm2.25lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1l 1220	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl2l 1222	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → 𝐶 ∈ ℤ)
3		simpl2r 1223	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → 𝐷 ∈ ℤ)
4		simpl1r 1221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
5		simpl3 1189	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
6		simpr 487	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)))
7		acongtr 39573	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) ∧ (𝐷 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	syl222anc 1382	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
9		simpl1l 1220	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → 𝐴 ∈ ℤ)
10		simpl2r 1223	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → 𝐷 ∈ ℤ)
11		simpl2l 1222	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → 𝐶 ∈ ℤ)
12		simpl1r 1221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		simpl3 1189	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷)))
14		acongsym 39571	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐶)))
15	9, 11, 10, 13, 14	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐶)))
16		simpr 487	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))
17		acongtr 39573	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐶) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐶)) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵)))) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)))
18	9, 10, 11, 12, 15, 16, 17	syl222anc 1382	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))) → (𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)))
19	8, 18	impbida 799	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐷 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐷) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐷))) → ((𝐴 ∥ (𝐷 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐷 − -𝐵)) ↔ (𝐴 ∥ (𝐶 − 𝐵) ∨ 𝐴 ∥ (𝐶 − -𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  (class class class)co 7155   − cmin 10869  -cneg 10870  ℤcz 11980   ∥ cdvds 15606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-n0 11897  df-z 11981  df-dvds 15607

This theorem is referenced by:  jm2.25  39594