Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27a 36480
Description: Lemma for jm2.27 36483. Reverse direction after existential quantifiers are expanded. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27a1 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
jm2.27a3 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
jm2.27a4 (𝜑𝐷 ∈ ℕ0)
jm2.27a5 (𝜑𝐸 ∈ ℕ0)
jm2.27a6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
jm2.27a7 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
jm2.27a8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
jm2.27a9 (𝜑𝐼 ∈ ℕ0)
jm2.27a10 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
jm2.27a11 (𝜑 → ((𝐷↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐶↑2))) = 1)
jm2.27a12 (𝜑 → ((𝐹↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝐸↑2))) = 1)
jm2.27a13 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
jm2.27a14 (𝜑 → ((𝐼↑2) − (((𝐺↑2) − 1) · (𝐻↑2))) = 1)
jm2.27a15 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
jm2.27a16 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
jm2.27a17 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
jm2.27a18 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
jm2.27a19 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
jm2.27a20 (𝜑𝐵𝐶)
jm2.27a21 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
jm2.27a22 (𝜑𝐷 = (𝐴 Xrm 𝑃))
jm2.27a23 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
jm2.27a24 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
jm2.27a25 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
jm2.27a26 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
jm2.27a27 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
jm2.27a28 (𝜑𝐼 = (𝐺 Xrm 𝑅))
jm2.27a29 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
Assertion
Ref Expression
jm2.27a (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))

Proof of Theorem jm2.27a
StepHypRef Expression
1 jm2.27a23 . 2 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝑃))
2 2z 11150 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
3 jm2.27a3 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℕ)
43nnzd 11221 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
5 zmulcl 11167 . . . . . 6 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
62, 4, 5sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∈ ℤ)
7 jm2.27a2 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
87nnzd 11221 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
9 jm2.27a27 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
10 jm2.27a21 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
11 jm2.27a8 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ ℕ0)
1211nn0zd 11220 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ℤ)
13 jm2.27a19 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))
14 congsym 36443 . . . . . . . 8 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐻 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝐵))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
156, 12, 8, 13, 14syl22anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻))
16 jm2.27a17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1))
17 jm2.27a13 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ (ℤ‘2))
1811nn0ge0d 11109 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ 𝐻)
19 rmy0 36402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺 ∈ (ℤ‘2) → (𝐺 Yrm 0) = 0)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) = 0)
21 jm2.27a29 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐻 = (𝐺 Yrm 𝑅))
2221eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) = 𝐻)
2318, 20, 223brtr4d 4513 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅))
24 0zd 11130 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
25 lermy 36430 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
2617, 24, 9, 25syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝑅 ↔ (𝐺 Yrm 0) ≤ (𝐺 Yrm 𝑅)))
2723, 26mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝑅)
28 elnn0z 11131 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ ℕ0 ↔ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑅))
299, 27, 28sylanbrc 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑅 ∈ ℕ0)
30 jm2.16nn0 36479 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3117, 29, 30syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3221oveq1d 6441 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − 𝑅))
3331, 32breqtrrd 4509 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅))
34 jm2.27a7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 ∈ ℕ0)
3534nn0zd 11220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐺 ∈ ℤ)
36 peano2zm 11161 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℤ → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 − 1) ∈ ℤ)
3812, 9zsubcld 11227 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐻𝑅) ∈ ℤ)
39 dvdstr 14725 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ (𝐺 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝐻𝑅) ∈ ℤ) → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅)) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅)))
406, 37, 38, 39syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((2 · 𝐶) ∥ (𝐺 − 1) ∧ (𝐺 − 1) ∥ (𝐻𝑅)) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅)))
4116, 33, 40mp2and 710 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))
42 congtr 36440 . . . . . . 7 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝐻 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝐻) ∧ (2 · 𝐶) ∥ (𝐻𝑅))) → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
436, 8, 12, 9, 15, 41, 42syl222anc 1333 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅))
4443orcd 405 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)))
45 jm2.27a24 . . . . . . 7 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
46 zmulcl 11167 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
472, 45, 46sylancr 693 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝑄) ∈ ℤ)
48 zsqcl 12664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ ℤ → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
494, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℤ)
50 dvdsmul2 14711 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
512, 49, 50sylancr 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)))
52 jm2.27a10 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ ℕ0)
5352nn0zd 11220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ ℤ)
5453peano2zd 11225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℤ)
55 zmulcl 11167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℤ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℤ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
562, 49, 55sylancr 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ)
57 dvdsmultr2 14728 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐶↑2) ∈ ℤ ∧ (𝐽 + 1) ∈ ℤ ∧ (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℤ) → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5849, 54, 56, 57syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐶↑2) ∥ (2 · (𝐶↑2)) → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2)))))
5951, 58mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) ∥ ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
601oveq1d 6441 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2))
61 jm2.27a15 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
62 jm2.27a26 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 = (𝐴 Yrm 𝑄))
6361, 62eqtr3d 2550 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))) = (𝐴 Yrm 𝑄))
6459, 60, 633brtr3d 4512 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄))
65 jm2.27a1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
6654zred 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℝ)
6756zred 11222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℝ)
68 nn0p1nn 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐽 ∈ ℕ0 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
6952, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐽 + 1) ∈ ℕ)
7069nngt0d 10819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (𝐽 + 1))
71 2nn 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
723nnsqcld 12759 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐶↑2) ∈ ℕ)
73 nnmulcl 10798 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑2) ∈ ℕ) → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7471, 72, 73sylancr 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (2 · (𝐶↑2)) ∈ ℕ)
7574nngt0d 10819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 0 < (2 · (𝐶↑2)))
7666, 67, 70, 75mulgt0d 9943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 < ((𝐽 + 1) · (2 · (𝐶↑2))))
7776, 61breqtrrd 4509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐸)
78 rmy0 36402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
7965, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) = 0)
8062eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑄) = 𝐸)
8177, 79, 803brtr4d 4513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄))
82 ltrmy 36427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8365, 24, 45, 82syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑄 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑄)))
8481, 83mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑄)
85 elnnz 11128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑄 ∈ ℕ ↔ (𝑄 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑄))
8645, 84, 85sylanbrc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
873nngt0d 10819 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < 𝐶)
881eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) = 𝐶)
8987, 79, 883brtr4d 4513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃))
90 ltrmy 36427 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9165, 24, 10, 90syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝑃 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑃)))
9289, 91mpbird 245 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑃)
93 elnnz 11128 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℕ ↔ (𝑃 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑃))
9410, 92, 93sylanbrc 694 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
95 jm2.20nn 36472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9665, 86, 94, 95syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Yrm 𝑃)↑2) ∥ (𝐴 Yrm 𝑄) ↔ (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄))
9764, 96mpbid 220 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄)
981, 4eqeltrrd 2593 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ)
99 muldvds2 14714 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
10010, 98, 45, 99syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 · (𝐴 Yrm 𝑃)) ∥ 𝑄 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄))
10197, 100mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑃) ∥ 𝑄)
1021, 101eqbrtrd 4503 . . . . . . 7 (𝜑𝐶𝑄)
1032a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
104 dvdscmul 14715 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
1054, 45, 103, 104syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶𝑄 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄)))
106102, 105mpd 15 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄))
107 jm2.27a25 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 = (𝐴 Xrm 𝑄))
108 jm2.27a6 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
109108nn0zd 11220 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
110107, 109eqeltrrd 2593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ)
111 frmy 36387 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
112111fovcl 6540 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11365, 9, 112syl2anc 690 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
11421, 12eqeltrrd 2593 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ)
115 eluzelz 11437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
11665, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
117 jm2.27a16 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∥ (𝐺𝐴))
118 congsym 36443 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐺 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐹 ∥ (𝐺𝐴))) → 𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
119109, 35, 116, 117, 118syl22anc 1318 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∥ (𝐴𝐺))
120107, 119eqbrtrrd 4505 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺))
121 jm2.15nn0 36478 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐺 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
12265, 17, 29, 121syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
123116, 35zsubcld 11227 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴𝐺) ∈ ℤ)
124113, 114zsubcld 11227 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ)
125 dvdstr 14725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴𝐺) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺) ∧ (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))))
126110, 123, 124, 125syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ (𝐴𝐺) ∧ (𝐴𝐺) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅))))
127120, 122, 126mp2and 710 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)))
128 jm2.27a18 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∥ (𝐻𝐶))
12921, 1oveq12d 6444 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻𝐶) = ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
130128, 107, 1293brtr3d 4512 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
131 congtr 36440 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 Xrm 𝑄) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑅) ∈ ℤ) ∧ ((𝐺 Yrm 𝑅) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑃) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐺 Yrm 𝑅)) ∧ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐺 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))) → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
132110, 113, 114, 98, 127, 130, 131syl222anc 1333 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)))
133132orcd 405 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))))
134 jm2.26 36477 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑄 ∈ ℕ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
13565, 86, 9, 10, 134syl22anc 1318 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − (𝐴 Yrm 𝑃)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑄) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑅) − -(𝐴 Yrm 𝑃))) ↔ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃))))
136133, 135mpbid 220 . . . . . 6 (𝜑 → ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
137 dvdsacongtr 36459 . . . . . 6 ((((2 · 𝑄) ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) ∧ (𝑃 ∈ ℤ ∧ (2 · 𝐶) ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (2 · 𝑄) ∧ ((2 · 𝑄) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝑄) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
13847, 9, 10, 6, 106, 136, 137syl222anc 1333 . . . . 5 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))
139 acongtr 36453 . . . . 5 ((((2 · 𝐶) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (𝑅 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑅) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑅)) ∧ ((2 · 𝐶) ∥ (𝑅𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝑅 − -𝑃)))) → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1406, 8, 9, 10, 44, 138, 139syl222anc 1333 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃)))
1417nnnn0d 11106 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ ℕ0)
1423nnnn0d 11106 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℕ0)
143 jm2.27a20 . . . . . 6 (𝜑𝐵𝐶)
144 elfz2nn0 12168 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝐵𝐶))
145141, 142, 143, 144syl3anbrc 1238 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ (0...𝐶))
14694nnnn0d 11106 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℕ0)
147 rmygeid 36439 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑃 ∈ ℕ0) → 𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
14865, 146, 147syl2anc 690 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ≤ (𝐴 Yrm 𝑃))
149148, 1breqtrrd 4509 . . . . . 6 (𝜑𝑃𝐶)
150 elfz2nn0 12168 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (0...𝐶) ↔ (𝑃 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ0𝑃𝐶))
151146, 142, 149, 150syl3anbrc 1238 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ (0...𝐶))
152 acongeq 36458 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (0...𝐶) ∧ 𝑃 ∈ (0...𝐶)) → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
1533, 145, 151, 152syl3anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 = 𝑃 ↔ ((2 · 𝐶) ∥ (𝐵𝑃) ∨ (2 · 𝐶) ∥ (𝐵 − -𝑃))))
154140, 153mpbird 245 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝑃)
155154oveq2d 6442 . 2 (𝜑 → (𝐴 Yrm 𝐵) = (𝐴 Yrm 𝑃))
1561, 155eqtr4d 2551 1 (𝜑𝐶 = (𝐴 Yrm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938   class class class wbr 4481  cfv 5689  (class class class)co 6426  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694   · cmul 9696   < clt 9829  cle 9830  cmin 10017  -cneg 10018  cn 10775  2c2 10825  0cn0 11047  cz 11118  cuz 11427  ...cfz 12065  cexp 12590  cdvds 14690   Xrm crmx 36372   Yrm crmy 36373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769  ax-addf 9770  ax-mulf 9771
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-iin 4356  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-of 6671  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-supp 7058  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-1o 7323  df-2o 7324  df-oadd 7327  df-omul 7328  df-er 7505  df-map 7622  df-pm 7623  df-ixp 7671  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-fin 7721  df-fsupp 8035  df-fi 8076  df-sup 8107  df-inf 8108  df-oi 8174  df-card 8524  df-acn 8527  df-cda 8749  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-div 10434  df-nn 10776  df-2 10834  df-3 10835  df-4 10836  df-5 10837  df-6 10838  df-7 10839  df-8 10840  df-9 10841  df-n0 11048  df-z 11119  df-dec 11234  df-uz 11428  df-q 11531  df-rp 11575  df-xneg 11688  df-xadd 11689  df-xmul 11690  df-ioo 11919  df-ioc 11920  df-ico 11921  df-icc 11922  df-fz 12066  df-fzo 12203  df-fl 12323  df-mod 12399  df-seq 12532  df-exp 12591  df-fac 12791  df-bc 12820  df-hash 12848  df-shft 13514  df-cj 13546  df-re 13547  df-im 13548  df-sqrt 13682  df-abs 13683  df-limsup 13910  df-clim 13933  df-rlim 13934  df-sum 14134  df-ef 14506  df-sin 14508  df-cos 14509  df-pi 14511  df-dvds 14691  df-gcd 14928  df-prm 15100  df-numer 15157  df-denom 15158  df-struct 15581  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-ress 15586  df-plusg 15665  df-mulr 15666  df-starv 15667  df-sca 15668  df-vsca 15669  df-ip 15670  df-tset 15671  df-ple 15672  df-ds 15675  df-unif 15676  df-hom 15677  df-cco 15678  df-rest 15790  df-topn 15791  df-0g 15809  df-gsum 15810  df-topgen 15811  df-pt 15812  df-prds 15815  df-xrs 15869  df-qtop 15875  df-imas 15876  df-xps 15879  df-mre 15961  df-mrc 15962  df-acs 15964  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-submnd 17051  df-mulg 17256  df-cntz 17465  df-cmn 17926  df-psmet 19463  df-xmet 19464  df-met 19465  df-bl 19466  df-mopn 19467  df-fbas 19468  df-fg 19469  df-cnfld 19472  df-top 20424  df-bases 20425  df-topon 20426  df-topsp 20427  df-cld 20536  df-ntr 20537  df-cls 20538  df-nei 20615  df-lp 20653  df-perf 20654  df-cn 20744  df-cnp 20745  df-haus 20832  df-tx 21078  df-hmeo 21271  df-fil 21363  df-fm 21455  df-flim 21456  df-flf 21457  df-xms 21837  df-ms 21838  df-tms 21839  df-cncf 22412  df-limc 23311  df-dv 23312  df-log 23994  df-squarenn 36313  df-pell1qr 36314  df-pell14qr 36315  df-pell1234qr 36316  df-pellfund 36317  df-rmx 36374  df-rmy 36375
This theorem is referenced by:  jm2.27b  36481
  Copyright terms: Public domain W3C validator