Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.27dlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.27dlem2 39485
Description: Lemma for rmydioph 39489. This theorem is used along with the next three to efficiently infer steps like 7 ∈ (1...10). (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm2.27dlem2.1 𝐴 ∈ (1...𝐵)
jm2.27dlem2.2 𝐶 = (𝐵 + 1)
jm2.27dlem2.3 𝐵 ∈ ℕ
Assertion
Ref Expression
jm2.27dlem2 𝐴 ∈ (1...𝐶)

Proof of Theorem jm2.27dlem2
StepHypRef Expression
1 jm2.27dlem2.1 . . 3 𝐴 ∈ (1...𝐵)
2 elfzelz 12896 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴 ∈ ℤ)
31, 2ax-mp 5 . 2 𝐴 ∈ ℤ
4 elfzle1 12898 . . 3 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 1 ≤ 𝐴)
51, 4ax-mp 5 . 2 1 ≤ 𝐴
63zrei 11975 . . . 4 𝐴 ∈ ℝ
7 jm2.27dlem2.3 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ
87nnrei 11635 . . . 4 𝐵 ∈ ℝ
9 elfzle2 12899 . . . . 5 (𝐴 ∈ (1...𝐵) → 𝐴𝐵)
101, 9ax-mp 5 . . . 4 𝐴𝐵
11 letrp1 11472 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 ≤ (𝐵 + 1))
126, 8, 10, 11mp3an 1452 . . 3 𝐴 ≤ (𝐵 + 1)
13 jm2.27dlem2.2 . . 3 𝐶 = (𝐵 + 1)
1412, 13breqtrri 5084 . 2 𝐴𝐶
15 1z 12000 . . 3 1 ∈ ℤ
16 nnz 11992 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
17 peano2z 12011 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℤ → (𝐵 + 1) ∈ ℤ)
187, 16, 17mp2b 10 . . . 4 (𝐵 + 1) ∈ ℤ
1913, 18eqeltri 2906 . . 3 𝐶 ∈ ℤ
20 elfz1 12885 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶)))
2115, 19, 20mp2an 688 . 2 (𝐴 ∈ (1...𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝐴𝐴𝐶))
223, 5, 14, 21mpbir3an 1333 1 𝐴 ∈ (1...𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  cr 10524  1c1 10526   + caddc 10528  cle 10664  cn 11626  cz 11969  ...cfz 12880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881
This theorem is referenced by:  rmydioph  39489  expdiophlem2  39497
  Copyright terms: Public domain W3C validator