Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm3.1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm3.1lem2 37902
Description: Lemma for jm3.1 37904. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
jm3.1.a (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.b (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
jm3.1.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
jm3.1.d (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
jm3.1lem2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))

Proof of Theorem jm3.1lem2
StepHypRef Expression
1 jm3.1.b . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (ℤ‘2))
2 eluzelre 11736 . . . 4 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
4 jm3.1.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnnn0d 11389 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
63, 5reexpcld 13065 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) ∈ ℝ)
7 jm3.1.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘2))
8 eluzelre 11736 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
97, 8syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
10 2re 11128 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 remulcl 10059 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1210, 9, 11sylancr 696 . . . . 5 (𝜑 → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
1312, 3remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) ∈ ℝ)
143resqcld 13075 . . . 4 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℝ)
1513, 14resubcld 10496 . . 3 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
16 1re 10077 . . 3 1 ∈ ℝ
17 resubcl 10383 . . 3 (((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
1815, 16, 17sylancl 695 . 2 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) ∈ ℝ)
19 jm3.1.d . . 3 (𝜑 → (𝐾 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ 𝐴)
207, 1, 4, 19jm3.1lem1 37901 . 2 (𝜑 → (𝐾𝑁) < 𝐴)
219, 3remulcld 10108 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ)
22 resubcl 10383 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
233, 16, 22sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ)
2421, 23readdcld 10107 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ∈ ℝ)
25 eluz2b1 11797 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝐾))
2625simprbi 479 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 1 < 𝐾)
271, 26syl 17 . . . . 5 (𝜑 → 1 < 𝐾)
28 eluz2nn 11764 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
297, 28syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
3029nngt0d 11102 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < 𝐴)
31 ltmulgt11 10921 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
329, 3, 30, 31syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → (1 < 𝐾𝐴 < (𝐴 · 𝐾)))
3327, 32mpbid 222 . . . 4 (𝜑𝐴 < (𝐴 · 𝐾))
34 uz2m1nn 11801 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
351, 34syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℕ)
3635nnrpd 11908 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 − 1) ∈ ℝ+)
3721, 36ltaddrpd 11943 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
389, 21, 24, 33, 37lttrd 10236 . . 3 (𝜑𝐴 < ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
39 peano2re 10247 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ ℝ → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
403, 39syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ∈ ℝ)
4140, 3remulcld 10108 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℝ)
42 resubcl 10383 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐾) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4321, 16, 42sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℝ)
4443, 14resubcld 10496 . . . . 5 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
453recnd 10106 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ ℂ)
4645exp1d 13043 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) = 𝐾)
47 eluz2nn 11764 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℕ)
481, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
4948nnge1d 11101 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≤ 𝐾)
50 nnuz 11761 . . . . . . . . . . 11 ℕ = (ℤ‘1)
514, 50syl6eleq 2740 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
523, 49, 51leexp2ad 13081 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑1) ≤ (𝐾𝑁))
5346, 52eqbrtrrd 4709 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ≤ (𝐾𝑁))
543, 6, 9, 53, 20lelttrd 10233 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 < 𝐴)
55 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (ℤ‘2) → 𝐾 ∈ ℤ)
561, 55syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
57 eluzelz 11735 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℤ)
587, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
59 zltp1le 11465 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6056, 58, 59syl2anc 694 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 < 𝐴 ↔ (𝐾 + 1) ≤ 𝐴))
6154, 60mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 + 1) ≤ 𝐴)
6248nngt0d 11102 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 < 𝐾)
63 lemul1 10913 . . . . . . 7 (((𝐾 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐾 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐾)) → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6440, 9, 3, 62, 63syl112anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) ≤ 𝐴 ↔ ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾)))
6561, 64mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ≤ (𝐴 · 𝐾))
6641, 21, 44, 65leadd1dd 10679 . . . 4 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))) ≤ ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
6721recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 · 𝐾) ∈ ℂ)
6841, 14resubcld 10496 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℝ)
6968recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) ∈ ℂ)
70 1cnd 10094 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7167, 69, 70addsub12d 10453 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
7245, 70, 45adddird 10103 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) = ((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)))
7345sqvald 13045 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾↑2) = (𝐾 · 𝐾))
7472, 73oveq12d 6708 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)))
7545, 45mulcld 10098 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐾 · 𝐾) ∈ ℂ)
76 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
77 mulcl 10058 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7876, 45, 77sylancr 696 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝐾) ∈ ℂ)
7975, 78pncan2d 10432 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐾 · 𝐾) + (1 · 𝐾)) − (𝐾 · 𝐾)) = (1 · 𝐾))
8045mulid2d 10096 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 · 𝐾) = 𝐾)
8174, 79, 803eqtrd 2689 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = 𝐾)
8281oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = (𝐾 − 1))
8382oveq2d 6706 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)))
8441recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾 + 1) · 𝐾) ∈ ℂ)
8514recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾↑2) ∈ ℂ)
8643recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) − 1) ∈ ℂ)
8784, 85, 86subadd23d 10452 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 + 1) · 𝐾) − (𝐾↑2)) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
8871, 83, 873eqtr3d 2693 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) = (((𝐾 + 1) · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
89 2cnd 11131 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
909recnd 10106 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90, 45mulassd 10101 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = (2 · (𝐴 · 𝐾)))
92672timesd 11313 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2 · (𝐴 · 𝐾)) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9391, 92eqtrd 2685 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · 𝐴) · 𝐾) = ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)))
9493oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → (((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)))
9594oveq1d 6705 . . . . 5 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1))
9621, 21readdcld 10107 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℝ)
9796recnd 10106 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) ∈ ℂ)
9897, 85, 70sub32d 10462 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − (𝐾↑2)) − 1) = ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)))
9967, 67, 70addsubassd 10450 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)))
10099oveq1d 6705 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)))
10167, 86, 85addsubassd 10450 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐾) + ((𝐴 · 𝐾) − 1)) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
102100, 101eqtrd 2685 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐴 · 𝐾) + (𝐴 · 𝐾)) − 1) − (𝐾↑2)) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10395, 98, 1023eqtrd 2689 . . . 4 (𝜑 → ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1) = ((𝐴 · 𝐾) + (((𝐴 · 𝐾) − 1) − (𝐾↑2))))
10466, 88, 1033brtr4d 4717 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐾) + (𝐾 − 1)) ≤ ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1059, 24, 18, 38, 104ltletrd 10235 . 2 (𝜑𝐴 < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
1066, 9, 18, 20, 105lttrd 10236 1 (𝜑 → (𝐾𝑁) < ((((2 · 𝐴) · 𝐾) − (𝐾↑2)) − 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wcel 2030   class class class wbr 4685  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  2c2 11108  cz 11415  cuz 11725  cexp 12900   Yrm crmy 37782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ioc 12218  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-shft 13851  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-limsup 14246  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-ef 14842  df-sin 14844  df-cos 14845  df-pi 14847  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-numer 15490  df-denom 15491  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-lp 20988  df-perf 20989  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cncf 22728  df-limc 23675  df-dv 23676  df-log 24348  df-squarenn 37722  df-pell1qr 37723  df-pell14qr 37724  df-pell1234qr 37725  df-pellfund 37726  df-rmx 37783  df-rmy 37784
This theorem is referenced by:  jm3.1lem3  37903  jm3.1  37904
  Copyright terms: Public domain W3C validator