MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  join0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem join0 17736
Description: Lemma for odumeet 17738. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
join0 (join‘∅) = ∅

Proof of Theorem join0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5202 . . 3 ∅ ∈ V
2 eqid 2818 . . . 4 (lub‘∅) = (lub‘∅)
3 eqid 2818 . . . 4 (join‘∅) = (join‘∅)
42, 3joinfval 17599 . . 3 (∅ ∈ V → (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧})
51, 4ax-mp 5 . 2 (join‘∅) = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧}
6 df-oprab 7149 . . 3 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)}
7 br0 5106 . . . . . . . . 9 ¬ {𝑥, 𝑦}∅𝑧
8 base0 16524 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ = (Base‘∅)
9 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (le‘∅) = (le‘∅)
10 biid 262 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)) ↔ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))
11 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ V → ∅ ∈ V)
128, 9, 2, 10, 11lubfval 17576 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∈ V → (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}))
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (lub‘∅) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))})
14 reu0 4315 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))
1514abf 4353 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))} = ∅
1615reseq2i 5843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅)
17 res0 5850 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ ∅) = ∅
1816, 17eqtri 2841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ 𝒫 ∅ ↦ (𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦)))) ↾ {𝑤 ∣ ∃!𝑧 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ ∅ (∀𝑥𝑤 𝑥(le‘∅)𝑦𝑧(le‘∅)𝑦))}) = ∅
1913, 18eqtri 2841 . . . . . . . . . 10 (lub‘∅) = ∅
2019breqi 5063 . . . . . . . . 9 ({𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧 ↔ {𝑥, 𝑦}∅𝑧)
217, 20mtbir 324 . . . . . . . 8 ¬ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧
2221intnan 487 . . . . . . 7 ¬ (𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2322nex 1792 . . . . . 6 ¬ ∃𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2423nex 1792 . . . . 5 ¬ ∃𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2524nex 1792 . . . 4 ¬ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)
2625abf 4353 . . 3 {𝑤 ∣ ∃𝑥𝑦𝑧(𝑤 = ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∧ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧)} = ∅
276, 26eqtri 2841 . 2 {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ {𝑥, 𝑦} (lub‘∅)𝑧} = ∅
285, 27eqtri 2841 1 (join‘∅) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  ∃!wreu 3137  Vcvv 3492  c0 4288  𝒫 cpw 4535  {cpr 4559  cop 4563   class class class wbr 5057  cmpt 5137  cres 5550  cfv 6348  crio 7102  {coprab 7146  lecple 16560  lubclub 17540  joincjn 17542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-oprab 7149  df-slot 16475  df-base 16477  df-lub 17572  df-join 17574
This theorem is referenced by:  odujoin  17740
  Copyright terms: Public domain W3C validator