MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlem 16992
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.) (Revised by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joinval2.l = (le‘𝐾)
joinval2.j = (join‘𝐾)
joinval2.k (𝜑𝐾𝑉)
joinval2.x (𝜑𝑋𝐵)
joinval2.y (𝜑𝑌𝐵)
joinlem.e (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
Assertion
Ref Expression
joinlem (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   (𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 joinval2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 joinval2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 joinval2.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝑉)
5 joinval2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
6 joinval2.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
7 joinlem.e . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7joineu 16991 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
9 riotasbc 6611 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) → [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑[(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6joinval2 16990 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1211sbceq1d 3434 . . 3 (𝜑 → ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1310, 12mpbird 247 . 2 (𝜑[(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
14 ovex 6663 . . 3 (𝑋 𝑌) ∈ V
15 breq2 4648 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑥𝑋 (𝑋 𝑌)))
16 breq2 4648 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑌 𝑥𝑌 (𝑋 𝑌)))
1715, 16anbi12d 746 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌))))
18 breq1 4647 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑋 𝑌) 𝑧))
1918imbi2d 330 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2019ralbidv 2983 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2117, 20anbi12d 746 . . 3 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧))))
2214, 21sbcie 3464 . 2 ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2313, 22sylib 208 1 (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  ∃!wreu 2911  [wsbc 3429  cop 4174   class class class wbr 4644  dom cdm 5104  cfv 5876  crio 6595  (class class class)co 6635  Basecbs 15838  lecple 15929  joincjn 16925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-lub 16955  df-join 16957
This theorem is referenced by:  lejoin1  16993  lejoin2  16994  joinle  16995
  Copyright terms: Public domain W3C validator