HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  jplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jplem1 29973
Description: Lemma for Jauch-Piron theorem. (Contributed by NM, 8-Apr-2001.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
jplem1.1 𝐴C
Assertion
Ref Expression
jplem1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑢𝐴 ↔ ((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = 1))

Proof of Theorem jplem1
StepHypRef Expression
1 jplem1.1 . . . 4 𝐴C
2 pjnorm2 29432 . . . 4 ((𝐴C𝑢 ∈ ℋ) → (𝑢𝐴 ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = (norm𝑢)))
31, 2mpan 686 . . 3 (𝑢 ∈ ℋ → (𝑢𝐴 ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = (norm𝑢)))
4 eqeq2 2833 . . 3 ((norm𝑢) = 1 → ((norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = (norm𝑢) ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
53, 4sylan9bb 510 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑢𝐴 ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
6 sq1 13548 . . . . 5 (1↑2) = 1
76eqeq2i 2834 . . . 4 (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ ((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = 1)
81pjhcli 29123 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℋ → ((proj𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ)
9 normcl 28830 . . . . . 6 (((proj𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ)
11 normge0 28831 . . . . . 6 (((proj𝐴)‘𝑢) ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)))
128, 11syl 17 . . . . 5 (𝑢 ∈ ℋ → 0 ≤ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)))
13 1re 10630 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
14 0le1 11152 . . . . . 6 0 ≤ 1
15 sq11 13486 . . . . . 6 ((((norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢))) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1)) → (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
1613, 14, 15mpanr12 701 . . . . 5 (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢))) → (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
1710, 12, 16syl2anc 584 . . . 4 (𝑢 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = (1↑2) ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
187, 17syl5bbr 286 . . 3 (𝑢 ∈ ℋ → (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = 1 ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
1918adantr 481 . 2 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = 1 ↔ (norm‘((proj𝐴)‘𝑢)) = 1))
205, 19bitr4d 283 1 ((𝑢 ∈ ℋ ∧ (norm𝑢) = 1) → (𝑢𝐴 ↔ ((norm‘((proj𝐴)‘𝑢))↑2) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527  cle 10665  2c2 11681  cexp 13419  chba 28624  normcno 28628   C cch 28634  projcpjh 28642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-inf2 9093  ax-cc 9846  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606  ax-hilex 28704  ax-hfvadd 28705  ax-hvcom 28706  ax-hvass 28707  ax-hv0cl 28708  ax-hvaddid 28709  ax-hfvmul 28710  ax-hvmulid 28711  ax-hvmulass 28712  ax-hvdistr1 28713  ax-hvdistr2 28714  ax-hvmul0 28715  ax-hfi 28784  ax-his1 28787  ax-his2 28788  ax-his3 28789  ax-his4 28790  ax-hcompl 28907
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-supp 7822  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-omul 8098  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fsupp 8823  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-card 9357  df-acn 9360  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-rlim 14836  df-sum 15033  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-starv 16570  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-unif 16578  df-hom 16579  df-cco 16580  df-rest 16686  df-topn 16687  df-0g 16705  df-gsum 16706  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-prds 16711  df-xrs 16765  df-qtop 16770  df-imas 16771  df-xps 16773  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-submnd 17947  df-mulg 18165  df-cntz 18387  df-cmn 18839  df-psmet 20467  df-xmet 20468  df-met 20469  df-bl 20470  df-mopn 20471  df-fbas 20472  df-fg 20473  df-cnfld 20476  df-top 21432  df-topon 21449  df-topsp 21471  df-bases 21484  df-cld 21557  df-ntr 21558  df-cls 21559  df-nei 21636  df-cn 21765  df-cnp 21766  df-lm 21767  df-haus 21853  df-tx 22100  df-hmeo 22293  df-fil 22384  df-fm 22476  df-flim 22477  df-flf 22478  df-xms 22859  df-ms 22860  df-tms 22861  df-cfil 23787  df-cau 23788  df-cmet 23789  df-grpo 28198  df-gid 28199  df-ginv 28200  df-gdiv 28201  df-ablo 28250  df-vc 28264  df-nv 28297  df-va 28300  df-ba 28301  df-sm 28302  df-0v 28303  df-vs 28304  df-nmcv 28305  df-ims 28306  df-dip 28406  df-ssp 28427  df-ph 28518  df-cbn 28568  df-hnorm 28673  df-hba 28674  df-hvsub 28676  df-hlim 28677  df-hcau 28678  df-sh 28912  df-ch 28926  df-oc 28957  df-ch0 28958  df-shs 29013  df-pjh 29100
This theorem is referenced by:  jplem2  29974
  Copyright terms: Public domain W3C validator