Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004lem2 38266
Description: A mapping with a particular restricted range is also a mapping to that range. (Contributed by RP, 1-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
k0004lem2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶) ↔ 𝐹 ∈ (𝐶𝑚 𝐴)))

Proof of Theorem k0004lem2
StepHypRef Expression
1 simp3 1061 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶𝐵)
2 sseqin2 3809 . . . . 5 (𝐶𝐵 ↔ (𝐵𝐶) = 𝐶)
32biimpi 206 . . . 4 (𝐶𝐵 → (𝐵𝐶) = 𝐶)
43eqcomd 2626 . . 3 (𝐶𝐵𝐶 = (𝐵𝐶))
5 k0004lem1 38265 . . 3 (𝐶 = (𝐵𝐶) → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
61, 4, 53syl 18 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
7 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐵𝑉)
8 simp1 1059 . . . 4 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐴𝑈)
97, 8elmapd 7856 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐵))
109anbi1d 740 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶)))
117, 1ssexd 4796 . . 3 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → 𝐶 ∈ V)
1211, 8elmapd 7856 . 2 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → (𝐹 ∈ (𝐶𝑚 𝐴) ↔ 𝐹:𝐴𝐶))
136, 10, 123bitr4d 300 1 ((𝐴𝑈𝐵𝑉𝐶𝐵) → ((𝐹 ∈ (𝐵𝑚 𝐴) ∧ (𝐹𝐴) ⊆ 𝐶) ↔ 𝐹 ∈ (𝐶𝑚 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  cin 3566  wss 3567  cima 5107  wf 5872  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ral 2914  df-rex 2915  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-br 4645  df-opab 4704  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844
This theorem is referenced by:  k0004lem3  38267
  Copyright terms: Public domain W3C validator