Mathbox for Richard Penner < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  k0004ss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem k0004ss2 38767
 Description: The topological simplex of dimension 𝑁 is a subset of the base set of a real vector space of dimension (𝑁 + 1). (Contributed by RP, 29-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
k0004.a 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
Assertion
Ref Expression
k0004ss2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
Distinct variable groups:   𝑘,𝑛   𝑡,𝑛   𝑘,𝑁   𝑡,𝑁,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑡,𝑘,𝑛)

Proof of Theorem k0004ss2
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 k0004.a . . 3 𝐴 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑡 ∈ ((0[,]1) ↑𝑚 (1...(𝑛 + 1))) ∣ Σ𝑘 ∈ (1...(𝑛 + 1))(𝑡𝑘) = 1})
21k0004ss1 38766 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
3 ssid 3657 . . . . 5 (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))
43a1i 11 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))))
5 elmapi 7921 . . . . . 6 (𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
65adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣:(1...(𝑁 + 1))⟶ℝ)
7 fzfid 12812 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
8 0red 10079 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 0 ∈ ℝ)
96, 7, 8fdmfifsupp 8326 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1)))) → 𝑣 finSupp 0)
104, 9ssrabdv 3714 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
11 ovex 6718 . . . 4 (1...(𝑁 + 1)) ∈ V
12 eqid 2651 . . . . 5 (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))) = (ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))
13 eqid 2651 . . . . 5 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1))))
1412, 13rrxbase 23222 . . . 4 ((1...(𝑁 + 1)) ∈ V → (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0})
1511, 14ax-mp 5 . . 3 (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))) = {𝑣 ∈ (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ∣ 𝑣 finSupp 0}
1610, 15syl6sseqr 3685 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℝ ↑𝑚 (1...(𝑁 + 1))) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
172, 16sstrd 3646 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴𝑁) ⊆ (Base‘(ℝ^‘(1...(𝑁 + 1)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {crab 2945  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899   finSupp cfsupp 8316  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  ℕ0cn0 11330  [,]cicc 12216  ...cfz 12364  Σcsu 14460  Basecbs 15904  ℝ^crrx 23217 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-rp 11871  df-icc 12220  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-0g 16149  df-prds 16155  df-pws 16157  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-subg 17638  df-cmn 18241  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-cring 18596  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-dvr 18729  df-drng 18797  df-field 18798  df-subrg 18826  df-sra 19220  df-rgmod 19221  df-cnfld 19795  df-refld 19999  df-dsmm 20124  df-frlm 20139  df-tng 22436  df-tch 23015  df-rrx 23219 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator