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Theorem karatsubaOLD 15717
Description: Obsolete version of karatsuba 15716 as of 9-Sep-2021. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jul-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
karatsubaOLD.a 𝐴 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.b 𝐵 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.c 𝐶 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.d 𝐷 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.s 𝑆 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.m 𝑀 ∈ ℕ0
karatsubaOLD.r (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
karatsubaOLD.t (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
karatsubaOLD.e ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
karatsubaOLD.x ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
karatsubaOLD.y ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
karatsubaOLD.w ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
karatsubaOLD.z ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
Assertion
Ref Expression
karatsubaOLD (𝑋 · 𝑌) = 𝑍

Proof of Theorem karatsubaOLD
StepHypRef Expression
1 karatsubaOLD.a . . . . . 6 𝐴 ∈ ℕ0
21nn0cni 11248 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
3 10nn0OLD 11261 . . . . . . 7 10 ∈ ℕ0
43nn0cni 11248 . . . . . 6 10 ∈ ℂ
5 karatsubaOLD.m . . . . . 6 𝑀 ∈ ℕ0
6 expcl 12818 . . . . . 6 ((10 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (10↑𝑀) ∈ ℂ)
74, 5, 6mp2an 707 . . . . 5 (10↑𝑀) ∈ ℂ
82, 7mulcli 9989 . . . 4 (𝐴 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
9 karatsubaOLD.b . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
109nn0cni 11248 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
11 karatsubaOLD.c . . . . . 6 𝐶 ∈ ℕ0
1211nn0cni 11248 . . . . 5 𝐶 ∈ ℂ
1312, 7mulcli 9989 . . . 4 (𝐶 · (10↑𝑀)) ∈ ℂ
14 karatsubaOLD.d . . . . 5 𝐷 ∈ ℕ0
1514nn0cni 11248 . . . 4 𝐷 ∈ ℂ
168, 10, 13, 15muladdi 10425 . . 3 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
178, 13mulcli 9989 . . . 4 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) ∈ ℂ
1815, 10mulcli 9989 . . . 4 (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ
198, 15mulcli 9989 . . . . 5 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) ∈ ℂ
2013, 10mulcli 9989 . . . . 5 ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵) ∈ ℂ
2119, 20addcli 9988 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)) ∈ ℂ
2217, 18, 21add32i 10203 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (𝐷 · 𝐵)) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵))
238, 12mulcli 9989 . . . . . 6 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) ∈ ℂ
24 karatsubaOLD.s . . . . . . 7 𝑆 ∈ ℕ0
2524nn0cni 11248 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
2623, 25, 7adddiri 9995 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀)))
272, 7, 12mul32i 10176 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀))
28 karatsubaOLD.r . . . . . . . . . 10 (𝐴 · 𝐶) = 𝑅
2928oveq1i 6614 . . . . . . . . 9 ((𝐴 · 𝐶) · (10↑𝑀)) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3027, 29eqtri 2643 . . . . . . . 8 ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) = (𝑅 · (10↑𝑀))
3130oveq1i 6614 . . . . . . 7 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆)
32 karatsubaOLD.w . . . . . . 7 ((𝑅 · (10↑𝑀)) + 𝑆) = 𝑊
3331, 32eqtri 2643 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) = 𝑊
3433oveq1i 6614 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) + 𝑆) · (10↑𝑀)) = (𝑊 · (10↑𝑀))
358, 12, 7mulassi 9993 . . . . . 6 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀)))
362, 12mulcli 9989 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ
3736, 18, 25add32i 10203 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵))
3828oveq1i 6614 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) = (𝑅 + 𝑆)
39 karatsubaOLD.t . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 · 𝐷) = 𝑇
4010, 15, 39mulcomli 9991 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷 · 𝐵) = 𝑇
4138, 40oveq12i 6616 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐶) + 𝑆) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
4237, 41eqtri 2643 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
43 karatsubaOLD.e . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = ((𝑅 + 𝑆) + 𝑇)
442, 10, 12, 15muladdi 10425 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 + 𝐵) · (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4542, 43, 443eqtr2i 2649 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
4636, 18addcli 9988 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) ∈ ℂ
472, 15mulcli 9989 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ
4812, 10mulcli 9989 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 · 𝐵) ∈ ℂ
4947, 48addcli 9988 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) ∈ ℂ
5046, 25, 49addcani 10173 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + 𝑆) = (((𝐴 · 𝐶) + (𝐷 · 𝐵)) + ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))) ↔ 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)))
5145, 50mpbi 220 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵))
5251oveq1i 6614 . . . . . . 7 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀))
5347, 48, 7adddiri 9995 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) + (𝐶 · 𝐵)) · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)))
542, 15, 7mul32i 10176 . . . . . . . 8 ((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) = ((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷)
5512, 10, 7mul32i 10176 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀)) = ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)
5654, 55oveq12i 6616 . . . . . . 7 (((𝐴 · 𝐷) · (10↑𝑀)) + ((𝐶 · 𝐵) · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5752, 53, 563eqtri 2647 . . . . . 6 (𝑆 · (10↑𝑀)) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))
5835, 57oveq12i 6616 . . . . 5 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐶) · (10↑𝑀)) + (𝑆 · (10↑𝑀))) = (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵)))
5926, 34, 583eqtr3ri 2652 . . . 4 (((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) = (𝑊 · (10↑𝑀))
6059, 40oveq12i 6616 . . 3 ((((𝐴 · (10↑𝑀)) · (𝐶 · (10↑𝑀))) + (((𝐴 · (10↑𝑀)) · 𝐷) + ((𝐶 · (10↑𝑀)) · 𝐵))) + (𝐷 · 𝐵)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
6116, 22, 603eqtri 2647 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇)
62 karatsubaOLD.x . . 3 ((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) = 𝑋
63 karatsubaOLD.y . . 3 ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷) = 𝑌
6462, 63oveq12i 6616 . 2 (((𝐴 · (10↑𝑀)) + 𝐵) · ((𝐶 · (10↑𝑀)) + 𝐷)) = (𝑋 · 𝑌)
65 karatsubaOLD.z . 2 ((𝑊 · (10↑𝑀)) + 𝑇) = 𝑍
6661, 64, 653eqtr3i 2651 1 (𝑋 · 𝑌) = 𝑍
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  (class class class)co 6604  cc 9878   + caddc 9883   · cmul 9885  10c10 11022  0cn0 11236  cexp 12800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-10OLD 11031  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-seq 12742  df-exp 12801
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