HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  kbmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kbmul 28681
Description: Multiplication property of outer product. (Contributed by NM, 31-May-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
kbmul ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)))

Proof of Theorem kbmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hvmulcl 27737 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ)
2 kbfval 28678 . . 3 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
31, 2stoic3 1698 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
4 simp2 1060 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
5 cjcl 13786 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
653ad2ant1 1080 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
7 simp3 1061 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
8 hvmulcl 27737 . . . . 5 (((∗‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ)
96, 7, 8syl2anc 692 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ)
10 kbfval 28678 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ ((∗‘𝐴) · 𝐶) ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
114, 9, 10syl2anc 692 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
12 simpr 477 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13 simpl3 1064 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐶 ∈ ℋ)
14 hicl 27804 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
1512, 13, 14syl2anc 692 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ)
16 simpl1 1062 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℂ)
17 simpl2 1063 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐵 ∈ ℋ)
18 ax-hvmulass 27731 . . . . . 6 (((𝑥 ·ih 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
1915, 16, 17, 18syl3anc 1323 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)))
2015, 16mulcomd 10012 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
21 his52 27811 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
2216, 12, 13, 21syl3anc 1323 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝐴 · (𝑥 ·ih 𝐶)))
2320, 22eqtr4d 2658 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)))
2423oveq1d 6625 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐶) · 𝐴) · 𝐵) = ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵))
2519, 24eqtr3d 2657 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵)) = ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵))
2625mpteq2dva 4709 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih ((∗‘𝐴) · 𝐶)) · 𝐵)))
2711, 26eqtr4d 2658 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)) = (𝑥 ∈ ℋ ↦ ((𝑥 ·ih 𝐶) · (𝐴 · 𝐵))))
283, 27eqtr4d 2658 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 · 𝐵) ketbra 𝐶) = (𝐵 ketbra ((∗‘𝐴) · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cc 9885   · cmul 9892  ccj 13777  chil 27643   · csm 27645   ·ih csp 27646   ketbra ck 27681
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-resscn 9944  ax-1cn 9945  ax-icn 9946  ax-addcl 9947  ax-addrcl 9948  ax-mulcl 9949  ax-mulrcl 9950  ax-mulcom 9951  ax-addass 9952  ax-mulass 9953  ax-distr 9954  ax-i2m1 9955  ax-1ne0 9956  ax-1rid 9957  ax-rnegex 9958  ax-rrecex 9959  ax-cnre 9960  ax-pre-lttri 9961  ax-pre-lttrn 9962  ax-pre-ltadd 9963  ax-pre-mulgt0 9964  ax-hilex 27723  ax-hfvmul 27729  ax-hvmulass 27731  ax-hfi 27803  ax-his1 27806  ax-his3 27808
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-er 7694  df-en 7907  df-dom 7908  df-sdom 7909  df-pnf 10027  df-mnf 10028  df-xr 10029  df-ltxr 10030  df-le 10031  df-sub 10219  df-neg 10220  df-div 10636  df-2 11030  df-cj 13780  df-re 13781  df-im 13782  df-kb 28577
This theorem is referenced by:  kbass6  28847
  Copyright terms: Public domain W3C validator