Theorem kbpj 29732

Description: If a vector 𝐴 has norm 1, the outer product ∣ 𝐴⟩ ⟨𝐴 ∣ is the projector onto the subspace spanned by 𝐴. http://en.wikipedia.org/wiki/Bra-ket#Linear%5Foperators. (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbpj	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

Proof of Theorem kbpj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7162	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = (1↑2))
2		sq1 13557	. . . . . . . . 9 ⊢ (1↑2) = 1
3	1, 2	syl6eq 2872	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴)↑2) = 1)
4	3	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1))
5		hicl 28856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
6	5	ancoms 461	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih 𝐴) ∈ ℂ)
7	6	div1d 11407	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / 1) = (𝑥 ·ih 𝐴))
8	4, 7	sylan9eqr 2878	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
9	8	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) = (𝑥 ·ih 𝐴))
10	9	oveq1d 7170	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
11		simpll 765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ∈ ℋ)
12		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝑥 ∈ ℋ)
13		ax-1ne0 10605	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 0
14		neeq1 3078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
15	13, 14	mpbiri 260	. . . . . . . 8 ⊢ ((normℎ‘𝐴) = 1 → (normℎ‘𝐴) ≠ 0)
16		normne0 28906	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0ℎ))
17	15, 16	syl5ib 246	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝐴) = 1 → 𝐴 ≠ 0ℎ))
18	17	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
19	18	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 𝐴 ≠ 0ℎ)
20		pjspansn 29353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0ℎ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
21	11, 12, 19, 20	syl3anc 1367	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥) = (((𝑥 ·ih 𝐴) / ((normℎ‘𝐴)↑2)) ·ℎ 𝐴))
22		kbval 29730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
23	22	3anidm12 1415	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
24	23	adantlr 713	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((𝑥 ·ih 𝐴) ·ℎ 𝐴))
25	10, 21, 24	3eqtr4rd 2867	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
26	25	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥))
27		kbop 29729	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
28	27	anidms 569	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴): ℋ⟶ ℋ)
29	28	ffnd 6514	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ)
30		spansnch 29336	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (span‘{𝐴}) ∈ Cℋ )
31		pjfn 29485	. . . . 5 ⊢ ((span‘{𝐴}) ∈ Cℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
32	30, 31	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ)
33		eqfnfv 6801	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ketbra 𝐴) Fn ℋ ∧ (projℎ‘(span‘{𝐴})) Fn ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
34	29, 32, 33	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
35	34	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → ((𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝐴 ketbra 𝐴)‘𝑥) = ((projℎ‘(span‘{𝐴}))‘𝑥)))
36	26, 35	mpbird 259	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝐴) = 1) → (𝐴 ketbra 𝐴) = (projℎ‘(span‘{𝐴})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  {csn 4566   Fn wfn 6349  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  ℂcc 10534  0cc0 10536  1c1 10537   / cdiv 11296  2c2 11691  ↑cexp 13428   ℋchba 28695   ·_ℎ csm 28697   ·_ih csp 28698  norm_ℎcno 28699  0_ℎc0v 28700   C_ℋ cch 28705  spancspn 28708  proj_ℎcpjh 28713   ketbra ck 28733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861  ax-hcompl 28978

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-lm 21836  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-gdiv 28272  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-vs 28375  df-nmcv 28376  df-ims 28377  df-dip 28477  df-ssp 28498  df-ph 28589  df-cbn 28639  df-hnorm 28744  df-hba 28745  df-hvsub 28747  df-hlim 28748  df-hcau 28749  df-sh 28983  df-ch 28997  df-oc 29028  df-ch0 29029  df-shs 29084  df-span 29085  df-pjh 29171  df-kb 29627

This theorem is referenced by: (None)