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Theorem kelac1 39543
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac1.j ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
kelac1.c ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
kelac1.b ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
kelac1.u ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
kelac1.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
2 eqid 2821 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
32cldss 21567 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 𝐽)
54ralrimiva 3182 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽)
6 boxriin 8493 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
8 kelac1.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
9 cmptop 21933 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
10 0ntop 21443 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ ∈ Top
11 fvprc 6657 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = ∅)
1211eleq1d 2897 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top ↔ ∅ ∈ Top))
1310, 12mtbiri 328 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ¬ (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
1413con4i 114 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
16 kelac1.j . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
1716fmpttd 6872 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top)
18 dmfex 7629 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top) → 𝐼 ∈ V)
1915, 17, 18syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2016ralrimiva 3182 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top)
21 eqid 2821 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
2221ptunimpt 22133 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top) → X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2319, 20, 22syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2423ineq1d 4187 . . . . 5 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
25 eqid 2821 . . . . . 6 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
262topcld 21573 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
2716, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
281, 27ifcld 4510 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘𝐽))
2919, 16, 28ptcldmpt 22152 . . . . . . 7 (𝜑X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
31 simprr 769 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
32 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
33 f1ofo 6616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝑆onto𝐶)
34 foima 6589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆onto𝐶 → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3532, 33, 343syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3635eqcomd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 = (𝐵𝑆))
37 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
38 f1ofn 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵 Fn 𝑆)
3932, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 Fn 𝑆)
40 ssid 3988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆𝑆
41 fnimaeq0 6475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 Fn 𝑆𝑆𝑆) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4239, 40, 41sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4342necon3bid 3060 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) ≠ ∅)
4536, 44eqnetrd 3083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ≠ ∅)
46 n0 4309 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4745, 46sylib 219 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 𝑤𝐶)
48 rexv 3521 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4947, 48sylibr 235 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
5049ralrimiva 3182 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
51 ssralv 4032 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5251adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5350, 52mpan9 507 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
54 eleq1 2900 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑓𝑥) → (𝑤𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5554ac6sfi 8751 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5631, 53, 55syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5723eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = X𝑥𝐼 𝐽)
5857ineq1d 4187 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
5958ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
60 iftrue 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
6160ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
62 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)
63 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧𝐼)
6463sselda 3966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐼)
6562, 64, 4syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐶 𝐽)
6665sseld 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽))
6766impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
6861, 67eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
6968expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7069ralimdva 3177 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7170imp 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
72 eldifn 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → ¬ 𝑥𝑧)
7372iffalsed 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
7473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
75 eldifi 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → 𝑥𝐼)
76 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
7775, 76sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
7874, 77eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
7978ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8079ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
81 ralun 4167 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8271, 80, 81syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
83 undif 4428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 ↔ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8483biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐼 → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8584ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8685raleqdv 3416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8786adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8882, 87mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8919ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ V)
90 mptelixpg 8488 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9288, 91mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽)
93 eleq2 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
94 eleq2 2901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( 𝐽 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
95 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)
9667adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
9793, 94, 95, 96ifbothda 4502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9861, 97eqeltrd 2913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9998expr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
10099ralimdva 3177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
101100imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
10377adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
10473adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
105 incom 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = (𝑧 ∩ (𝐼𝑧))
106 disjdif 4419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∩ (𝐼𝑧)) = ∅
107105, 106eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅)
109 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝑧))
110 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑦𝑧)
111 disjne 4402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
112108, 109, 110, 111syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥𝑦)
113112neneqd 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
114113iffalsed 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) = 𝐽)
115103, 104, 1143eltr4d 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
116115ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
117116adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
118117adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
119 ralun 4167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
120102, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12185raleqdv 3416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
122121ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
123120, 122mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12419ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐼 ∈ V)
125 mptelixpg 8488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
126124, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
127123, 126mpbird 258 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
128127ralrimiva 3182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
129 mptexg 6976 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
13019, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
131130ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
132 eliin 4917 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
133131, 132syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
134128, 133mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
13592, 134elind 4170 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
136135ne0d 4300 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13759, 136eqnetrd 3083 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
138137adantrl 712 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13956, 138exlimddv 1927 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
14025, 8, 30, 139cmpfiiin 39174 . . . . 5 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
14124, 140eqnetrd 3083 . . . 4 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
1427, 141eqnetrd 3083 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅)
143 n0 4309 . . 3 (X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
144142, 143sylib 219 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
145 elixp2 8454 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶))
146145simp3bi 1139 . . . . 5 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶)
147 f1ocnv 6621 . . . . . . . 8 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝐶1-1-onto𝑆)
148 f1of 6609 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶1-1-onto𝑆𝐵:𝐶𝑆)
149 ffvelrn 6842 . . . . . . . . 9 ((𝐵:𝐶𝑆 ∧ (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
150149ex 413 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶𝑆 → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15132, 147, 148, 1504syl 19 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
152151ralimdva 3177 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
153152imp 407 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
154146, 153sylan2 592 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
155 mptelixpg 8488 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15619, 155syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
157156adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
158154, 157mpbird 258 . . 3 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆)
159158ne0d 4300 . 2 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
160144, 159exlimddv 1927 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  wrex 3139  Vcvv 3495  cdif 3932  cun 3933  cin 3934  wss 3935  c0 4290  ifcif 4465   cuni 4832   ciin 4913  cmpt 5138  ccnv 5548  cima 5552   Fn wfn 6344  wf 6345  ontowfo 6347  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  Xcixp 8450  Fincfn 8498  tcpt 16702  Topctop 21431  Clsdccld 21554  Compccmp 21924
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-topgen 16707  df-pt 16708  df-top 21432  df-bases 21484  df-cld 21557  df-cmp 21925
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