Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kelac1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kelac1 37099
Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kelac1.z ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
kelac1.j ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
kelac1.c ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
kelac1.b ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
kelac1.u ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
kelac1.k (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
Assertion
Ref Expression
kelac1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝐼
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝑈(𝑥)   𝐽(𝑥)

Proof of Theorem kelac1
Dummy variables 𝑓 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kelac1.c . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽))
2 eqid 2626 . . . . . . . 8 𝐽 = 𝐽
32cldss 20738 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ (Clsd‘𝐽) → 𝐶 𝐽)
41, 3syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 𝐽)
54ralrimiva 2965 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽)
6 boxriin 7895 . . . . 5 (∀𝑥𝐼 𝐶 𝐽X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
8 kelac1.k . . . . . . . . 9 (𝜑 → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp)
9 cmptop 21103 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Comp → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
10 0ntop 20630 . . . . . . . . . . 11 ¬ ∅ ∈ Top
11 fvprc 6144 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = ∅)
1211eleq1d 2688 . . . . . . . . . . 11 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top ↔ ∅ ∈ Top))
1310, 12mtbiri 317 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑥𝐼𝐽) ∈ V → ¬ (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top)
1413con4i 113 . . . . . . . . 9 ((∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∈ Top → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
158, 9, 143syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽) ∈ V)
16 kelac1.j . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ Top)
17 eqid 2626 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐼𝐽) = (𝑥𝐼𝐽)
1816, 17fmptd 6341 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top)
19 dmfex 7074 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐼𝐽) ∈ V ∧ (𝑥𝐼𝐽):𝐼⟶Top) → 𝐼 ∈ V)
2015, 18, 19syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ V)
2116ralrimiva 2965 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top)
22 eqid 2626 . . . . . . . 8 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
2322ptunimpt 21303 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐼 𝐽 ∈ Top) → X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2420, 21, 23syl2anc 692 . . . . . 6 (𝜑X𝑥𝐼 𝐽 = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)))
2524ineq1d 3796 . . . . 5 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
26 eqid 2626 . . . . . 6 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = (∏t‘(𝑥𝐼𝐽))
272topcld 20744 . . . . . . . . . 10 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
2816, 27syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐽 ∈ (Clsd‘𝐽))
291, 28ifcld 4108 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐼) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘𝐽))
3020, 16, 29ptcldmpt 21322 . . . . . . 7 (𝜑X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
3130adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝐼) → X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∈ (Clsd‘(∏t‘(𝑥𝐼𝐽))))
32 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧 ∈ Fin)
33 kelac1.b . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵:𝑆1-1-onto𝐶)
34 f1ofo 6103 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝑆onto𝐶)
35 foima 6079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵:𝑆onto𝐶 → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3633, 34, 353syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) = 𝐶)
3736eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 = (𝐵𝑆))
38 kelac1.z . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑆 ≠ ∅)
39 f1ofn 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵 Fn 𝑆)
4033, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐵 Fn 𝑆)
41 ssid 3608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆𝑆
42 fnimaeq0 5972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐵 Fn 𝑆𝑆𝑆) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4340, 41, 42sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) = ∅ ↔ 𝑆 = ∅))
4443necon3bid 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐵𝑆) ≠ ∅ ↔ 𝑆 ≠ ∅))
4538, 44mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐵𝑆) ≠ ∅)
4637, 45eqnetrd 2863 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐶 ≠ ∅)
47 n0 3912 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4846, 47sylib 208 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 𝑤𝐶)
49 rexv 3211 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
5048, 49sylibr 224 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐼) → ∃𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
5150ralrimiva 2965 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
52 ssralv 3650 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝐼 → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5352adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin) → (∀𝑥𝐼𝑤 ∈ V 𝑤𝐶 → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶))
5451, 53mpan9 486 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶)
55 eleq1 2692 . . . . . . . . 9 (𝑤 = (𝑓𝑥) → (𝑤𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5655ac6sfi 8149 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ Fin ∧ ∀𝑥𝑧𝑤 ∈ V 𝑤𝐶) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5732, 54, 56syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ∃𝑓(𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶))
5824eqcomd 2632 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) = X𝑥𝐼 𝐽)
5958ineq1d 3796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
6059ad2antrr 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) = (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
61 iftrue 4069 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑧 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
6261ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = (𝑓𝑥))
63 simpll 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝜑)
64 simprl 793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → 𝑧𝐼)
6564sselda 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝑥𝐼)
6663, 65, 4syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → 𝐶 𝐽)
6766sseld 3587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽))
6867impr 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
6962, 68eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
7069expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7170ralimdva 2961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
7271imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
73 eldifn 3716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → ¬ 𝑥𝑧)
7473iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
76 eldifi 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (𝐼𝑧) → 𝑥𝐼)
77 kelac1.u . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑈 𝐽)
7876, 77sylan2 491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
7975, 78eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8079ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8180ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
82 ralun 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
8372, 81, 82syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
84 undif 4026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 ↔ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8584biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧𝐼 → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8685ad2antrl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (𝑧 ∪ (𝐼𝑧)) = 𝐼)
8786raleqdv 3138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
8983, 88mpbid 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽)
9020ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → 𝐼 ∈ V)
91 mptelixpg 7890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9290, 91syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽 ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ 𝐽))
9389, 92mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 𝐽)
94 eleq2 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐶 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
95 eleq2 2693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ( 𝐽 = if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐽 ↔ (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
96 simplrr 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)
9768adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → (𝑓𝑥) ∈ 𝐽)
9894, 95, 96, 97ifbothda 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → (𝑓𝑥) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
9962, 98eqeltrd 2704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑥𝑧 ∧ (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
10099expr 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑥𝑧) → ((𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
101100ralimdva 2961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
102101imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
10478adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑈 𝐽)
10574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) = 𝑈)
106 incom 3788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = (𝑧 ∩ (𝐼𝑧))
107 disjdif 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑧 ∩ (𝐼𝑧)) = ∅
108106, 107eqtri 2648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅)
110 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥 ∈ (𝐼𝑧))
111 simplr 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑦𝑧)
112 disjne 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐼𝑧) ∩ 𝑧) = ∅ ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧) ∧ 𝑦𝑧) → 𝑥𝑦)
113109, 110, 111, 112syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → 𝑥𝑦)
114113neneqd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
115114iffalsed 4074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) = 𝐽)
116104, 105, 1153eltr4d 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑦𝑧) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑧)) → if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
117116ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
118117adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
119118adantlr 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
120 ralun 3778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝑧 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐼𝑧)if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
121103, 119, 120syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12286raleqdv 3138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
123122ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (∀𝑥 ∈ (𝑧 ∪ (𝐼𝑧))if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
124121, 123mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
12520ad3antrrr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → 𝐼 ∈ V)
126 mptelixpg 7890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
127125, 126syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑥𝐼 if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈) ∈ if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
128124, 127mpbird 247 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) ∧ 𝑦𝑧) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
129128ralrimiva 2965 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
130 mptexg 6439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ V → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
13120, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
132131ad2antrr 761 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V)
133 eliin 4496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
134132, 133syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽) ↔ ∀𝑦𝑧 (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
135129, 134mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽))
13693, 135elind 3781 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)))
137 ne0i 3902 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐼 ↦ if(𝑥𝑧, (𝑓𝑥), 𝑈)) ∈ (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
138136, 137syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
13960, 138eqnetrd 2863 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
140139adantrl 751 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) ∧ (𝑓:𝑧⟶V ∧ ∀𝑥𝑧 (𝑓𝑥) ∈ 𝐶)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
14157, 140exlimddv 1865 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑧𝐼𝑧 ∈ Fin)) → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝑧 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
14226, 8, 31, 141cmpfiiin 36726 . . . . 5 (𝜑 → ( (∏t‘(𝑥𝐼𝐽)) ∩ 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
14325, 142eqnetrd 2863 . . . 4 (𝜑 → (X𝑥𝐼 𝐽 𝑦𝐼 X𝑥𝐼 if(𝑥 = 𝑦, 𝐶, 𝐽)) ≠ ∅)
1447, 143eqnetrd 2863 . . 3 (𝜑X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅)
145 n0 3912 . . 3 (X𝑥𝐼 𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
146144, 145sylib 208 . 2 (𝜑 → ∃𝑦 𝑦X𝑥𝐼 𝐶)
147 elixp2 7857 . . . . . 6 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 ↔ (𝑦 ∈ V ∧ 𝑦 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶))
148147simp3bi 1076 . . . . 5 (𝑦X𝑥𝐼 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶)
149 f1ocnv 6108 . . . . . . . 8 (𝐵:𝑆1-1-onto𝐶𝐵:𝐶1-1-onto𝑆)
150 f1of 6096 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶1-1-onto𝑆𝐵:𝐶𝑆)
151 ffvelrn 6314 . . . . . . . . 9 ((𝐵:𝐶𝑆 ∧ (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
152151ex 450 . . . . . . . 8 (𝐵:𝐶𝑆 → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15333, 149, 150, 1524syl 19 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
154153ralimdva 2961 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶 → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
155154imp 445 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑦𝑥) ∈ 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
156148, 155sylan2 491 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆)
157 mptelixpg 7890 . . . . . 6 (𝐼 ∈ V → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
15820, 157syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
159158adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆 ↔ ∀𝑥𝐼 (𝐵‘(𝑦𝑥)) ∈ 𝑆))
160156, 159mpbird 247 . . 3 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆)
161 ne0i 3902 . . 3 ((𝑥𝐼 ↦ (𝐵‘(𝑦𝑥))) ∈ X𝑥𝐼 𝑆X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
162160, 161syl 17 . 2 ((𝜑𝑦X𝑥𝐼 𝐶) → X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
163146, 162exlimddv 1865 1 (𝜑X𝑥𝐼 𝑆 ≠ ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1992  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  Vcvv 3191  cdif 3557  cun 3558  cin 3559  wss 3560  c0 3896  ifcif 4063   cuni 4407   ciin 4491  cmpt 4678  ccnv 5078  cima 5082   Fn wfn 5845  wf 5846  ontowfo 5848  1-1-ontowf1o 5849  cfv 5850  Xcixp 7853  Fincfn 7900  tcpt 16015  Topctop 20612  Clsdccld 20725  Compccmp 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-iin 4493  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-ixp 7854  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-fi 8262  df-topgen 16020  df-pt 16021  df-top 20616  df-bases 20617  df-cld 20728  df-cmp 21095
This theorem is referenced by:  kelac2  37101
  Copyright terms: Public domain W3C validator