Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  kercvrlsm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kercvrlsm 37154
Description: The domain of a linear function is the subspace sum of the kernel and any subspace which covers the range. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
kercvrlsm.u 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
kercvrlsm.p = (LSSum‘𝑆)
kercvrlsm.z 0 = (0g𝑇)
kercvrlsm.k 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
kercvrlsm.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
kercvrlsm.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
kercvrlsm.d (𝜑𝐷𝑈)
kercvrlsm.cv (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
Assertion
Ref Expression
kercvrlsm (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)

Proof of Theorem kercvrlsm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kercvrlsm.f . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇))
2 lmhmlmod1 18955 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ LMod)
4 kercvrlsm.k . . . . . 6 𝐾 = (𝐹 “ { 0 })
5 kercvrlsm.z . . . . . 6 0 = (0g𝑇)
6 kercvrlsm.u . . . . . 6 𝑈 = (LSubSp‘𝑆)
74, 5, 6lmhmkerlss 18973 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐾𝑈)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑈)
9 kercvrlsm.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑈)
10 kercvrlsm.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑆)
116, 10lsmcl 19005 . . . 4 ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝑈𝐷𝑈) → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
123, 8, 9, 11syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ∈ 𝑈)
13 kercvrlsm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑆)
1413, 6lssss 18859 . . 3 ((𝐾 𝐷) ∈ 𝑈 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐾 𝐷) ⊆ 𝐵)
16 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
1713, 16lmhmf 18956 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
181, 17syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇))
19 ffn 6004 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐵⟶(Base‘𝑇) → 𝐹 Fn 𝐵)
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 Fn 𝐵)
21 fnfvelrn 6314 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐵𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
2220, 21sylan 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ ran 𝐹)
23 kercvrlsm.cv . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2423adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝐷) = ran 𝐹)
2522, 24eleqtrrd 2701 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷))
2620adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐹 Fn 𝐵)
2713, 6lssss 18859 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑈𝐷𝐵)
289, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷𝐵)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐷𝐵)
30 fvelimab 6212 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn 𝐵𝐷𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3126, 29, 30syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝐹𝑎) ∈ (𝐹𝐷) ↔ ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)))
3225, 31mpbid 222 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → ∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎))
33 lmodgrp 18794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑆 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
343, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑆 ∈ Grp)
36 simprl 793 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑎𝐵)
3728sselda 3584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐵)
3837adantrl 751 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝑏𝐵)
39 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑆) = (+g𝑆)
40 eqid 2621 . . . . . . . . . . . 12 (-g𝑆) = (-g𝑆)
4113, 39, 40grpnpcan 17431 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4235, 36, 38, 41syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
4342adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) = 𝑎)
443ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑆 ∈ LMod)
4513, 6lssss 18859 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾𝑈𝐾𝐵)
468, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝐵)
4746ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐾𝐵)
4828ad2antrr 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝐷𝐵)
49 eqcom 2628 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑏))
50 lmghm 18953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
511, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
5313, 5, 4, 40ghmeqker 17611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5452, 36, 38, 53syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑏) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5549, 54syl5bb 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) ↔ (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾))
5655biimpa 501 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → (𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾)
57 simplrr 800 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑏𝐷)
5813, 39, 10lsmelvalix 17980 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝐾𝐵𝐷𝐵) ∧ ((𝑎(-g𝑆)𝑏) ∈ 𝐾𝑏𝐷)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
5944, 47, 48, 56, 57, 58syl32anc 1331 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → ((𝑎(-g𝑆)𝑏)(+g𝑆)𝑏) ∈ (𝐾 𝐷))
6043, 59eqeltrrd 2699 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) ∧ (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎)) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6160ex 450 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐷)) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6261anassrs 679 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6362rexlimdva 3024 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (∃𝑏𝐷 (𝐹𝑏) = (𝐹𝑎) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6432, 63mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎 ∈ (𝐾 𝐷))
6564ex 450 . . 3 (𝜑 → (𝑎𝐵𝑎 ∈ (𝐾 𝐷)))
6665ssrdv 3590 . 2 (𝜑𝐵 ⊆ (𝐾 𝐷))
6715, 66eqssd 3601 1 (𝜑 → (𝐾 𝐷) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  wss 3556  {csn 4150  ccnv 5075  ran crn 5077  cima 5079   Fn wfn 5844  wf 5845  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  -gcsg 17348   GrpHom cghm 17581  LSSumclsm 17973  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854   LMHom clmhm 18941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-ghm 17582  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lmhm 18944
This theorem is referenced by:  lmhmfgsplit  37157
  Copyright terms: Public domain W3C validator