Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kgen2cn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kgen2cn 21410
 Description: A continuous function is also continuous with the domain and codomain replaced by their compact generator topologies. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
kgen2cn (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))

Proof of Theorem kgen2cn
StepHypRef Expression
1 cntop1 21092 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ Top)
2 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
32toptopon 20770 . . . . . 6 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
41, 3sylib 208 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
5 kgentopon 21389 . . . . 5 (𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽))
7 kgenss 21394 . . . . 5 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
81, 7syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽))
92cnss1 21128 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐽 ⊆ (𝑘Gen‘𝐽)) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
106, 8, 9syl2anc 694 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾))
11 kgenf 21392 . . . . . 6 𝑘Gen:Top⟶Top
12 ffn 6083 . . . . . 6 (𝑘Gen:Top⟶Top → 𝑘Gen Fn Top)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 𝑘Gen Fn Top
14 fnfvelrn 6396 . . . . 5 ((𝑘Gen Fn Top ∧ 𝐽 ∈ Top) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
1513, 1, 14sylancr 696 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen)
16 cntop2 21093 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐾 ∈ Top)
17 kgencn3 21409 . . . 4 (((𝑘Gen‘𝐽) ∈ ran 𝑘Gen ∧ 𝐾 ∈ Top) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
1815, 16, 17syl2anc 694 . . 3 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → ((𝑘Gen‘𝐽) Cn 𝐾) = ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
1910, 18sseqtrd 3674 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → (𝐽 Cn 𝐾) ⊆ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
20 id 22 . 2 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
2119, 20sseldd 3637 1 (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) → 𝐹 ∈ ((𝑘Gen‘𝐽) Cn (𝑘Gen‘𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468  ran crn 5144   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   Cn ccn 21076  𝑘Genckgen 21384 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-fin 8001  df-fi 8358  df-rest 16130  df-topgen 16151  df-top 20747  df-topon 20764  df-bases 20798  df-cn 21079  df-cmp 21238  df-kgen 21385 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator