MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kmlem13 8936
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 5-Apr-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
kmlem9.1 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡𝑥 𝑢 = (𝑡 (𝑥 ∖ {𝑡}))}
Assertion
Ref Expression
kmlem13 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡   𝑦,𝐴,𝑧,𝑤,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑢,𝑡)

Proof of Theorem kmlem13
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 kmlem1 8924 . . 3 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → ∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
2 raleq 3130 . . . . . . 7 (𝑥 = → (∀𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)))
32raleqbi1dv 3138 . . . . . 6 (𝑥 = → (∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) ↔ ∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)))
4 raleq 3130 . . . . . . 7 (𝑥 = → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
54exbidv 1847 . . . . . 6 (𝑥 = → (∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
63, 5imbi12d 334 . . . . 5 (𝑥 = → ((∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))))
76cbvalv 2272 . . . 4 (∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ ∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
8 kmlem9.1 . . . . . . 7 𝐴 = {𝑢 ∣ ∃𝑡𝑥 𝑢 = (𝑡 (𝑥 ∖ {𝑡}))}
98kmlem10 8933 . . . . . 6 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
10 ineq2 3791 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑔 → (𝑧𝑦) = (𝑧𝑔))
1110eleq2d 2684 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑔 → (𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
1211eubidv 2489 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑔 → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
1312imbi2d 330 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑔 → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔))))
1413ralbidv 2981 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑔 → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔))))
1514cbvexv 2274 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)))
16 kmlem3 8926 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
17 ralinexa 2992 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
1817rexbii 3035 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → ¬ 𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ∃𝑣𝑧 ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
19 rexnal 2990 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣𝑧 ¬ ∃𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2016, 18, 193bitri 286 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2120ralbii 2975 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ∀𝑧𝑥 ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
22 ralnex 2987 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 ¬ ∀𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
2321, 22bitri 264 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ ↔ ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
248kmlem12 8935 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
25 vex 3192 . . . . . . . . . . . . 13 𝑔 ∈ V
2625inex1 4764 . . . . . . . . . . . 12 (𝑔 𝐴) ∈ V
27 ineq2 3791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (𝑧𝑦) = (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))
2827eleq2d 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))))
2928eubidv 2489 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))))
3029imbi2d 330 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → ((𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
3130ralbidv 2981 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑔 𝐴) → (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴)))))
3226, 31spcev 3289 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ (𝑔 𝐴))) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
3324, 32syl6 35 . . . . . . . . . 10 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∀𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3433exlimdv 1858 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3534com12 32 . . . . . . . 8 (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → (∀𝑧𝑥 (𝑧 (𝑥 ∖ {𝑧})) ≠ ∅ → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3623, 35syl5bir 233 . . . . . . 7 (∃𝑔𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑔)) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3715, 36sylbi 207 . . . . . 6 (∃𝑦𝑧𝐴 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
389, 37syl 17 . . . . 5 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → (¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
3938alrimiv 1852 . . . 4 (∀(∀𝑧𝑤 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
407, 39sylbi 207 . . 3 (∀𝑥(∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
411, 40syl 17 . 2 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) → ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
42 kmlem7 8930 . . . . 5 ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)))
4342imim1i 63 . . . 4 ((¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
44 biimt 350 . . . . . . . . 9 (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4544ralimi 2947 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
46 ralbi 3062 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑥 (∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → (∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4745, 46syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4847exbidv 1847 . . . . . 6 (∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
4948adantr 481 . . . . 5 ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → (∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
5049pm5.74i 260 . . . 4 (((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
5143, 50sylibr 224 . . 3 ((¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
5251alimi 1736 . 2 (∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))) → ∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)))
5341, 52impbii 199 1 (∀𝑥((∀𝑧𝑥 𝑧 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑥𝑤𝑥 (𝑧𝑤 → (𝑧𝑤) = ∅)) → ∃𝑦𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑥(¬ ∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) → ∃𝑦𝑧𝑥 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  wal 1478   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  ∃!weu 2469  {cab 2607  wne 2790  wral 2907  wrex 2908  cdif 3556  cin 3558  c0 3896  {csn 4153   cuni 4407
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860
This theorem is referenced by:  dfackm  8940
  Copyright terms: Public domain W3C validator