MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  kmlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem kmlem8 8924
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 1 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
kmlem8 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
Distinct variable group:   𝑦,𝑢,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜓(𝑦,𝑧,𝑤,𝑢)

Proof of Theorem kmlem8
StepHypRef Expression
1 ralnex 2991 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓 ↔ ¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓)
2 df-rex 2918 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓))
3 rexnal 2994 . . . . . . . 8 (∃𝑤𝑧 ¬ 𝜓 ↔ ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓)
42, 3bitr3i 266 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) ↔ ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓)
5 exsimpl 1794 . . . . . . . 8 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → ∃𝑤 𝑤𝑧)
6 n0 3912 . . . . . . . 8 (𝑧 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝑧)
75, 6sylibr 224 . . . . . . 7 (∃𝑤(𝑤𝑧 ∧ ¬ 𝜓) → 𝑧 ≠ ∅)
84, 7sylbir 225 . . . . . 6 (¬ ∀𝑤𝑧 𝜓𝑧 ≠ ∅)
98ralimi 2952 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 ¬ ∀𝑤𝑧 𝜓 → ∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅)
101, 9sylbir 225 . . . 4 (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅)
11 biimt 350 . . . . . . . . 9 (𝑧 ≠ ∅ → (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1211ralimi 2952 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ∀𝑧𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
13 ralbi 3066 . . . . . . . 8 (∀𝑧𝑢 (∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) → (∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦) ↔ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1514anbi2d 739 . . . . . 6 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → ((¬ 𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ (¬ 𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)))))
1615exbidv 1852 . . . . 5 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)))))
17 kmlem2 8918 . . . . 5 (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1816, 17syl6rbbr 279 . . . 4 (∀𝑧𝑢 𝑧 ≠ ∅ → (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
1910, 18syl 17 . . 3 (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → (∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦)) ↔ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
2019pm5.74i 260 . 2 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
21 pm4.64 387 . 2 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
2220, 21bitri 264 1 ((¬ ∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 → ∃𝑦𝑧𝑢 (𝑧 ≠ ∅ → ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))) ↔ (∃𝑧𝑢𝑤𝑧 𝜓 ∨ ∃𝑦𝑦𝑢 ∧ ∀𝑧𝑢 ∃!𝑤 𝑤 ∈ (𝑧𝑦))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384  wex 1701  wcel 1992  ∃!weu 2474  wne 2796  wral 2912  wrex 2913  cin 3559  c0 3896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872  ax-un 6903
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-v 3193  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-sn 4154  df-pr 4156  df-uni 4408
This theorem is referenced by:  dfackm  8933
  Copyright terms: Public domain W3C validator