Theorem knoppcnlem1 33827

Description: Lemma for knoppcn 33838. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
knoppcnlem1.f	⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
knoppcnlem1	⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		knoppcnlem1.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2		oveq2 7158	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
3	2	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
4	3	oveq2d 7166	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
5	4	mpteq2dv 5154	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
6		knoppcnlem1.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
7		nn0ex 11897	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
8	7	mptex 6980	. . . 4 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
10	1, 5, 6, 9	fvmptd3 6785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
11		oveq2 7158	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝐶↑𝑛) = (𝐶↑𝑀))
12		oveq2 7158	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
13	12	fvoveq1d 7172	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
14	11, 13	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
15	14	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 = 𝑀) → ((𝐶↑𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
16		knoppcnlem1.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
17		ovexd 7185	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
18	10, 15, 16, 17	fvmptd 6769	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴)‘𝑀) = ((𝐶↑𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℝcr 10530   · cmul 10536  2c2 11686  ℕ₀cn0 11891  ↑cexp 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-1cn 10589  ax-addcl 10591

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-nn 11633  df-n0 11892

This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  33829  knoppcnlem4  33830  knoppcnlem10  33836  knoppndvlem6  33851  knoppndvlem7  33852  knoppndvlem11  33856