Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem1 32160
Description: Lemma for knoppcn 32171. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem1.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem1.2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
knoppcnlem1.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛,𝑦   𝐶,𝑛,𝑦   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁,𝑦   𝑇,𝑛,𝑦   𝜑,𝑦,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑦,𝑛)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem knoppcnlem1
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem1.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
21a1i 11 . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))))))
3 oveq2 6618 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝐴 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦) = (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))
43fveq2d 6157 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))
54oveq2d 6626 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦))) = ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))))
65mpteq2dv 4710 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
76adantl 482 . . 3 ((𝜑𝑦 = 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
8 knoppcnlem1.2 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
9 nn0ex 11250 . . . . 5 0 ∈ V
109mptex 6446 . . . 4 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V
1110a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))) ∈ V)
122, 7, 8, 11fvmptd 6250 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐴) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)))))
13 oveq2 6618 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝐶𝑛) = (𝐶𝑀))
14 oveq2 6618 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((2 · 𝑁)↑𝑛) = ((2 · 𝑁)↑𝑀))
1514oveq1d 6625 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴) = (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))
1615fveq2d 6157 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴)) = (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴)))
1713, 16oveq12d 6628 . . 3 (𝑛 = 𝑀 → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
1817adantl 482 . 2 ((𝜑𝑛 = 𝑀) → ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝐴))) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
19 knoppcnlem1.3 . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
20 ovexd 6640 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))) ∈ V)
2112, 18, 19, 20fvmptd 6250 1 (𝜑 → ((𝐹𝐴)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3189  cmpt 4678  cfv 5852  (class class class)co 6610  cr 9887   · cmul 9893  2c2 11022  0cn0 11244  cexp 12808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-ov 6613  df-om 7020  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-nn 10973  df-n0 11245
This theorem is referenced by:  knoppcnlem3  32162  knoppcnlem4  32163  knoppcnlem10  32169  knoppndvlem6  32185  knoppndvlem7  32186  knoppndvlem11  32190
  Copyright terms: Public domain W3C validator