Users' Mathboxes Mathbox for Asger C. Ipsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  knoppcnlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem knoppcnlem10 32798
Description: Lemma for knoppcn 32800. (Contributed by Asger C. Ipsen, 4-Apr-2021.) (Revised by Asger C. Ipsen, 5-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
knoppcnlem10.t 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
knoppcnlem10.f 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
knoppcnlem10.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
knoppcnlem10.1 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
knoppcnlem10.2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
knoppcnlem10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑛,𝑦,𝑧   𝑛,𝑀,𝑧   𝑛,𝑁,𝑦,𝑧   𝑇,𝑛,𝑦,𝑧   𝜑,𝑛,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧,𝑛)   𝑀(𝑥,𝑦)   𝑁(𝑥)

Proof of Theorem knoppcnlem10
StepHypRef Expression
1 knoppcnlem10.f . . . 4 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐶𝑛) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑛) · 𝑦)))))
2 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
3 knoppcnlem10.2 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
43adantr 472 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℕ0)
51, 2, 4knoppcnlem1 32789 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑧)‘𝑀) = ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))))
65mpteq2dva 4896 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))))
7 retopon 22768 . . . 4 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
87a1i 11 . . 3 (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
9 eqid 2760 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
109cnfldtopon 22787 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
1110a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ))
12 knoppcnlem10.1 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
1312recnd 10260 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
1413, 3expcld 13202 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑀) ∈ ℂ)
158, 11, 14cnmptc 21667 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝐶𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
16 2re 11282 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
18 knoppcnlem10.n . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
19 nnre 11219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
2117, 20remulcld 10262 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
2221, 3reexpcld 13219 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
2322recnd 10260 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℂ)
248, 11, 23cnmptc 21667 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((2 · 𝑁)↑𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
259tgioo2 22807 . . . . . . . . . 10 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
2625oveq2i 6824 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) = ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))
2710topontopi 20922 . . . . . . . . . 10 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
28 cnrest2r 21293 . . . . . . . . . 10 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Top → ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3026, 29eqsstri 3776 . . . . . . . 8 ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))) ⊆ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
318cnmptid 21666 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
3230, 31sseldi 3742 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑧) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
339mulcn 22871 . . . . . . . 8 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
3433a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
358, 24, 32, 34cnmpt12f 21671 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
3622adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → ((2 · 𝑁)↑𝑀) ∈ ℝ)
3736, 2remulcld 10262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ℝ) → (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧) ∈ ℝ)
38 eqid 2760 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))
3937, 38fmptd 6548 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ)
40 frn 6214 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)):ℝ⟶ℝ → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ)
42 ax-resscn 10185 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
4411, 41, 433jca 1123 . . . . . . 7 (𝜑 → ((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ))
45 cnrest2 21292 . . . . . . 7 (((TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ ran (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)) ↔ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ))))
4735, 46mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)))
4847, 26syl6eleqr 2850 . . . 4 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (topGen‘ran (,))))
49 ssid 3765 . . . . . . . 8 ℂ ⊆ ℂ
5042, 49pm3.2i 470 . . . . . . 7 (ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ)
51 cncfss 22903 . . . . . . 7 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . 6 (ℝ–cn→ℝ) ⊆ (ℝ–cn→ℂ)
53 knoppcnlem10.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (abs‘((⌊‘(𝑥 + (1 / 2))) − 𝑥)))
5453dnicn 32788 . . . . . . 7 𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ)
5554a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℝ))
5652, 55sseldi 3742 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ (ℝ–cn→ℂ))
57 fvex 6362 . . . . . . . . 9 (TopOpen‘ℂfld) ∈ V
5810toponunii 20923 . . . . . . . . . 10 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
5958restid 16296 . . . . . . . . 9 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ V → ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld))
6057, 59ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ) = (TopOpen‘ℂfld)
6160eqcomi 2769 . . . . . . 7 (TopOpen‘ℂfld) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℂ)
629, 25, 61cncfcn 22913 . . . . . 6 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
6350, 62ax-mp 5 . . . . 5 (ℝ–cn→ℂ) = ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
6456, 63syl6eleq 2849 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
658, 48, 64cnmpt11f 21669 . . 3 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
668, 15, 65, 34cnmpt12f 21671 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐶𝑀) · (𝑇‘(((2 · 𝑁)↑𝑀) · 𝑧)))) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
676, 66eqeltrd 2839 1 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℝ ↦ ((𝐹𝑧)‘𝑀)) ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  wss 3715  cmpt 4881  ran crn 5267  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cc 10126  cr 10127  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133  cmin 10458   / cdiv 10876  cn 11212  2c2 11262  0cn0 11484  (,)cioo 12368  cfl 12785  cexp 13054  abscabs 14173  t crest 16283  TopOpenctopn 16284  topGenctg 16300  fldccnfld 19948  Topctop 20900  TopOnctopon 20917   Cn ccn 21230   ×t ctx 21565  cnccncf 22880
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206  ax-mulf 10208
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-iin 4675  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-of 7062  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-supp 7464  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-er 7911  df-map 8025  df-ixp 8075  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-fsupp 8441  df-fi 8482  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-4 11273  df-5 11274  df-6 11275  df-7 11276  df-8 11277  df-9 11278  df-n0 11485  df-z 11570  df-dec 11686  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-xneg 12139  df-xadd 12140  df-xmul 12141  df-ioo 12372  df-icc 12375  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-struct 16061  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-starv 16158  df-sca 16159  df-vsca 16160  df-ip 16161  df-tset 16162  df-ple 16163  df-ds 16166  df-unif 16167  df-hom 16168  df-cco 16169  df-rest 16285  df-topn 16286  df-0g 16304  df-gsum 16305  df-topgen 16306  df-pt 16307  df-prds 16310  df-xrs 16364  df-qtop 16369  df-imas 16370  df-xps 16372  df-mre 16448  df-mrc 16449  df-acs 16451  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-mulg 17742  df-cntz 17950  df-cmn 18395  df-psmet 19940  df-xmet 19941  df-met 19942  df-bl 19943  df-mopn 19944  df-cnfld 19949  df-top 20901  df-topon 20918  df-topsp 20939  df-bases 20952  df-cn 21233  df-cnp 21234  df-tx 21567  df-hmeo 21760  df-xms 22326  df-ms 22327  df-tms 22328  df-cncf 22882
This theorem is referenced by:  knoppcnlem11  32799
  Copyright terms: Public domain W3C validator